Tal, Algebra og Ligninger, Kap.7, Negative tal og repræsentationer.

Negative tal og repræsentationer

Hensigten med kapitlet er at jeg;

·         Lærer hvad negative tal er, og hvordan jeg regner med dem

·         Lærer at bruge repræsentationer som et matematiskdidaktisk værktøj

·         Lærer at forklare de negative tals regneregler

·         Lærer om børns forestilling om negative tal

Repræsentationer i matematikundervisningen

NCTM 2001 anser repræsentationer som et pædagogisk middel til at lære matematik og at det samme matematiske sagsforhold kan forstås som det at kunne ”sige” det samme på forskellige måder fx Pi som decimalbrøk 3, 141…, som en rational tilnærmelse 22/7 eller som omkredsen af en cirkel med diameter 1.

Stylianou(2011) påpeger at matematiske objekter i modsætning til fysiske objekter kun er tilgængelig gennem repræsentationer som værktøj og kommunikationsmiddel fx grafer, symboler, talte og skrevne ord.

Goldin & Shteingold(2001) mener man skal skelne mellem indre og ydre repræsentationer. Fx er der to ydre repræsentationer i y = 2x + 3 og det at tegne den rette linje i et koordinatsystem - da de begge findes fysisk og kan se af alle. Tilsvarende findes indre repræsentationer inde i elevens hoved, da læring må antages at foregå i forhold til de indre repræsentationer. Især fx elevtegninger og elevens kommunikation kan gøre indre repræsentationer tydelig for læreren/mig. Et eksempel kan også være gangetabeller, som er lagret som indre repræsentation, men vises udadtil fulgt af en fremsigende rytme eller klappen med hænderne.

Repræsentationer og kognitive forhindringer

Det er vigtigt som underviser altid er forholde sig til repræsentationerne for ikke at ende i en ”kognitiv forhindring” RME kalder dem for heltalsdistraktioner. fx hvis jeg som underviser på de små klassetrin kun lærer eleven at der findes positive hele tal. Derved vil eleven på et tidspunkt opleve kognitiv forhindring, når denne skal til at lære, at dette alligevel ikke er korrekt.

På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal

Kineserne arbejdede med negative tal som repræsentation allerede for 2000 år siden. De havde røde regnepinde for tal, der skulle lægges til og sorte regnepinde for tal der skulle trækkes fra. Denne type repræsentationer kan kaldes antals- eller mængderepræsentationer.

Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer

Udgangspunktet er at eleven skal få en fornemmelse af, at de hele tal består både af de naturlige tal, og de tilsvarende negative tal og 0.

Gældsrepræsentationen

 Regneregler

• 1.       (-n) + (-m) = - (n + m)
• 2.       n + (-m) = n - m
• 3.       n - (- m) = n + m

Talaksen i form af et termometer/tallinje

Super hvis jeg kan lærer eleven positionsrepræsentationen via en tallinje/et termometer. Eleven kan bedre få en forståelse for de negative tal ved fx at se at temperaturen er under nul. Brousseau betegner det a-didaktiske (uden lærer), når eleven selv kan arbejde sig gennem forskellige delmål ved fx at kunne kontrollere om denne er på rette vej. Min lærerrolle bliver herved at træde ind på banen og samle op og præcisere til sidst.

Overvej-diskuter1

Lav fx et forløb med regneregel 3 opdelt i delmål, således at eleven selv finde frem til evidence.

Fx Vis at 7 - (- 3) er = 10

1.   Tegn med lineal en tallinje og afsæt for mærke for hver 1 cm.
2.  Indsæt ved mærker talrækken fra -10, -9, -8…..frem til +10.
3.   Afsæt på tallinje +7
4.  Afsæt det negative tal (- 3) på tallinjen.
5.  Aflæs hvor stor er afstanden mellem +7 og (- 3) 
6. Den er = +10.

Herudfra kan jeg uddrage, at jeg ”gør det omvendte” af at trække det negative tal (- 3) fra. Jeg lægge +3 til +7, hvilket giver 10. Hermed er regnereglen 3 vist.

Moderniseret kinesisk kuglerepræsentation

Den kinesiske og ældst kendte repræsentation af negative tal regnepindemåde med de røde(+) og de sorte(-) kan også overføres nogle regneregler for multiplikation og division af hele tal

Regneregler

n x (- m) = -(nm)

(- m): (- n) = (m: n)

Den første regneregel kan vises ved fx

3 x (- 2) = - (3 x 2)

Ved at tage (- )2 tre gange, altså (- 2) + (- 2) + (- 2) kender eleven fra regneregel 1 med addition (- n) + (- m) = - (n + m) brugt to gange, hvilket giver - (2 + 2 + 2) eller - (3 x 2)

Den anden regel vises ved fx 

(- 6): (- 2) = 6: 2, forstås, hvor divisionen opfattes som måling. For herved betyder (- 6): (- 2) at eleven skal måle, hvor mange gange denne kan tage 2 ud af 6.

Øvelse3

Fremstil illustrationer til udregninger af nedenstående ex;

Overvej/diskuter2

Overvej om der i et moderne barns verden findes bedre repræsentationer, eller kom med gode ideer til konstruktion af repræsentationer fx apps?????

Øvelse5

Undersøg lærebogssystemer og beskriv hvordan de behandler regning med negative tal.

Forskning i børns repræsentationer

Det har vist sig at da børn oftest først stifter bekendtskab med negative tal på mellemtrinnet kan der være en risiko for at der opstår en kognitiv forhindring for at tilegne sig de negative repræsentationer. Jeg bør altså som lærer være opmærksom på dette og evt. lade børn stifte bekendtskab allerede i indskolingen via fx antalsrepræsentation figur (Goldin&Shteingold. 2001, s.13)

Arbejdskortbogen 1A D3, Regning med negative tal

Regning med negative tal

Hensigten med arbejdskortet er, at jeg:

• ·         Får forklaring på regneregler for negative tal
• ·         Bliver fortrolige med forskellige argumenter for - x - = +

1.argument:

n*(-5)	Resultat
3*(-5)	-15
2*(-5)	-10
1*(-5)	-5
0*(-5)	0
(-1)*(-5)	5
(-2)*(-5)	10

Ud fra tabellen herover ville en ræsonneren være at - x - = +

2.argument:

Generelt gælder:

a: b = c ↔ c*b =a

fx 3*(-2) = -6  så må det også gælde at (-6): (-2) = 3 ( He. 2 går 3 gange op i 6)

At dividere med (-2) er = at gange med -½, derfor må (-6) * (-½) = 3

3.argument:

0=3+(-3)

0=(-2)*(3+(-3))

0=(-2)*3+(-2)*(-3)

0=(-6)+(-2)*(-3)

Da resultatet for at stemme må ende med at være 0=0 må det understregede blive +6

4.argument:

Det gælder

(-a)*(b+(-b))=(-a)*0=0

Derfor fås:

(-a)*(b+(-b))=0

(-a)*b+(-a)*(-b)=0

-(a*b)+(-a)*(-b)=0

a*b+(-(a*b))+(-a)*(-b)=a*b+0

(-a)*(-b)=a*b

5.argument:

Her omskrives udtrykket ab+a*(-b)+(-a)*(-b) på to forskellige måder:

·         ab+a*(-b)+(-a)*(-b)=a*(b+(-b))+(-a)*(-b)

=a*0+(-a)*(-b)

=(-a)*(-b)

·         ab+a*(-b)+(-a)*(-b)=ab+(a+(-a))*(-b)

=ab+0*(-b)

=ab

Begge resultater er lovlige omskrivninger af samme størrelse og er derved ens.

Refleksion

De huske regler der henvises til i figuren herunder vil jeg kort sige, at de ville ikke hjælpe mig. De virker alle søgte og ikke specielt nemme at huske.

Den gængse old fashion remse ( - x - = +), (- x + = -) etc. er udenadslære ja, men nemmere at huske.

I virkeligheden er ”to ens” herunder nok den nemmeste at huske:

Two Signs: The Rules

"Two like signs make a positive sign, two unlike signs make a negative sign"

Kilde: http://www.mathsisfun.com/multiplying-negatives.html

Brøk - Decimaltal - Procent

C-kapitlet handler om de tal der kan skrives på brøkform - de rationale tal, og om hvordan jeg kan støtte eleven i at opbygge et brøkbegreb.

Hensigten med kapitlet er at give mig:

Ø  En faglig og pædagogisk-didaktisk kompetence i forhold til brøk, decimaltal og procent

Ø  At arbejde med forskellige repræsentationer for brød

Ø  At undersøge sammenhæng mellem brøk, decimaltal og procent.

Ø   

Da regning med brøker ikke som en tælleremse af naturlige tal kan knyttes til den virkelige verden, kan det være svært for eleven at forholde sig til fx hvilken brøk er størst 2/7 eller 3/8?

Eleven skal også få forståelse for at 2/5 er

Ø  Udtryk for en del af en helhed

Ø  Et tal på tallinjen

Ø  Divisionen 2:5

Ø  En relativ værdi

Ø  Et andet navn for 0,4 og for 40%

Det indledende arbejde med brøkbegrebet

Overvej opgaverne herover i forhold til børn i 4.kl, der skal til at danne sig begreb om brøker. Hvilke egenskaber kan de selv finde frem til? Hvilke kan jeg hjælpe med?

Hvis jeg tager udgangspunkt i den hollandske skoles Realistic Mathematics Education (RME) med den didaktiske ankermand Hans Freudenthal, skal jeg dels forholde mig til, at viden modtages ikke passivt, men opbygges aktivt af det enkelte individ, dels at erkendelse er ikke et spørgsmål om at opdage en objektivt eksisterende verden, men om at organisere ens erfaring (ibid., s.18). Det betyder at jeg skal starte med at finde eksempler som eleven kan relaterer til sin omverden. I ideal situationen sidder eleven ved et bord sammen med x andre, og eleven får en opgave om at dele z antal kiks, så alle får lige meget. Eller der er her 13 kiks. Hvor mange kan hver ved bordet få? Ved uformel afprøven vil eleven sandsynligvis rimeligt nemt kunne dele kiksene en efter en, måske med y i overskud. Men ved at diskutere andre mulige delingsmetoder med kammerater ved bordet kan eleven måske finde frem til en anden metode, der inddrager division fx 13 kiks delt med 3 elever = 4 kiks til hver med 1 kiks i overskud. Som så kan opdeles i mindre stykker, så alle får en tredjedel af en hel. Herved vil eleven aktivt skabe en ny erfaring, som kan omsættes ved guided reinvention til mere systematiseret matematiseringen. Efterhånden som eleven kan sammenholde praksis med en mere systematiske tilgang, kan jeg udfordre ved at skabe en vertikal matematisering - en udfordring for eleven fx ved at inddrage det matematiske symbolsprog.

Freudenthal forholder mig altså at udfordre eleven i en cyklisk uformel, præformel og endelig en formel praksis, der også kræver, at jeg som underviser differentierer de enkelte elever og vurdere om, der er tale om en udfordring hos eleven, der primært har en horisontal eller en vertikal matematisering.

Trådene samles i Adrian Treffers 4 analytiske tilgange til matematikundervisningen nemlig den empiriske, den mekaniske, den strukturalistiske eller RME.

Hvis alle disse didaktiske overvejelser skal overvejes, vil jeg nok hente hjælp i FFM, der er opbygget niveaudelt.

FFM

Tal 4-6kl.

Fase 1

Færdighedsmål: Eleverne kan anvende decimaltal og brøker i hverdagssituationer

Vidensmål: Eleven har viden om brøkbegrebet og decimaltals opbygning i titalssystemet

Læringsmål Eksempler på læringsmål for et undervisningsforløb. Eleverne kan skrive længder med decimaltal. Eleverne kan sætte decimaltal i rækkefølge efter størrelse. Eleverne kan give eksempler på hverdagssituationer, hvor decimaltal bruges. Eleverne kan lave en tegning, der viser en brøkdel. Eleverne kan sætte brøker i rækkefølge efter størrelse.

Tegn på læring Eksempler på tegn på læring for udvalgt læringsmål. Eleverne kan lave en tegning, der viser en brøkdel Herunder er et farvet kvadrat. Tegn en figur uden om kvadratet og beskriv hvor stor en brøkdel, kvadratet udgør af figuren. Eleven skal finde forskellige løsninger, hvor kvadratet udgør samme brøkdel, og løsninger, hvor kvadratet udgør forskellige  Niveau 1 Eleven fremstiller få løsninger med enkle stambrøker, fx  ,   og  . Niveau 2 Eleven fremstiller på opfordring forskellige løsninger for enhver stambrøk. Niveau 3 Eleven fremstiller på opfordring forskellige løsninger for vilkårlige brøker.

Lærebøger og brøker

1.kolorit 4.kl, 2004

Del i ….

Brøker på sømbræt

Der findes en god gratis app, som hedder geoboard, der kan bruges som sømbræt.

Tiendedele og hundrededele….

Hvor meget pizza får de?

C2 Man kan regne med brøker

I C2 skal jeg prøve at få forståelse for hvordan eleven kan arbejde med brøker så de opnår talforståelse, samt lære at lave arbejdsopgaver der kan give eleven mulighed for at finde frem til reglerne for regning med brøk.

Addition og subtraktion med brøker

Lærerens forberedelse af undervisning i 6.kl.

Mål:

at eleven kan arbejde med forskellige repræsentationer af brøker, der adderes og subtraheres

at eleven selv skal kunne finde frem til regler for addition og subtraktion af brøker.

Til forberedelse af undervisningen laver jeg:

1.       Forlængning og forkortning - arbejdskort, hvor eleven kan tegne sig frem til, hvordan man kan forlænge og forkorte brøker.

2.       Addition og subtraktion ud fra tegninger - hvor fællesnævneren kan ses på tegningerne. Vigtigt at eleven arbejder med at ”tegne og tænke”

fx 

Addition og subtraktion med brøkruder - ???

Lav et arbejdskort til addition og subtraktion med lommeregneren, hvor lommeregneren bruges til at hjælpe eleven med at se et mønster i arbejdet og måske kan udlede en regel. Fx

For at eleven skal opdage reglerne addition og subtraktion for brøker, vil jeg bruge nemme forhold som fx ½, 1/4 eller 1/10. Da eleven oftest vil have en erfaringsreference med tal som halve og kvarte eller 25 øre, og da vi bruger 10-talsystemet. Ved at vælge nemme tal i nævneren vil det også skabe bedre overblik for at tilegne sig en forståelse af brøker. Men jeg skal også kunne differentiere/nivellere og åbne mulighed for at vertikal matematisering for de elever, der kunne stille spørgsmål som; hvad så hvis bageopskriften foreskriver 4½ dl? Altså blandet tal, der skal laves om til uægte brøker.

Hvorimod jeg nok ikke ville anvende sværere brøker primært med ulige tal i nævneren som 7, 9, 11 eller 13. Her skiller 3 og 5 sig ud. 3 fordi det er så lille et tal at eleven forholdsvis nemt kan overskue forhold med 3 og 5, fordi det går op i 10´ere.?????

Arbejdskort til addition med klokken til fx opg. ¼ + 2/3

I bogen s.53 beskrives ved tal uden forklaring hvordan en elev er kommet frem til brøken 11/12. Her har eleven først tænkt i hvor mange ¼ deles et ur (cirkel) i hvilket eleven omsætter til 15 min, herefter tænker eleven på samme måde med 2/3 hvor stor en del vil dette svare til i minutter, nemlig 2*20. Dette lægger eleven sammen og får 55 (min), men her skal eleven så igen omsætte det til brøk og det gør eleven ved at tænke at 5(min) svare til 1/12, derfor må 55(min) = 11/12.

Da eleven er stærk i at bruge forskellige metoder til at komme frem til løsningen, vil jeg for at udfordre eleven arbejde med blandede tal i cirkler, inddrage omregning til grader for at udfordre elevens viden i en ny og anden kontekst fx hvor stor en cirkel kan du tegne med dine arme fra strakt arm foran næsen til bag dine skuldre? Eller du skal bage boller til din klasse. Opskriften skriver 4½ dl mel pr.4 personer, hvor meget mel skal du måle af?

Hvis jeg vil bruge ur-metoden til brøkregning vil jeg bruge tal, hvor nævneren vil give mening altså 2,3, 4, 5, 6, 12.

Multiplikation og division

Arbejdskort-opgaver som jeg skal lave til multiplikation ved hjælp af lommeregneren;

1.       det ene tal er et helt tal, og det andet tal er en brøk fx 3*3/8 , 5/8  :3

2.       begge tal er brøker fx 4/6 : 11/12 , 5/8 * 5/8

3.       spørgsmål, hvor eleven skal forklare, hvad denne opdager fx

1.       spørgsmål, hvor denne skal overveje, hvorfor det mon er sådan fx 

Ypsilon bind 1 s.241

Gæt og division

 

I ”Kultur, kundskab og kompetencer - 1A”kap.3 arbejdes med at en brøk kan findes ved at tage udgangspunkt i, at divisionen

3/5 : 2/3  er løsning til ligningen: 2/3 * x = 3/5

Med begrebet ”neutraliserer” kan division med brøker på begge sider af lighedstegnet sættes i kontekst til, at når man gør noget på den ene side af lighedstegnet skal man altid gøre det samme på den anden side. En forholdsvis nem måde at huske hvordan eleven skal dividere brøker og ikke mindst at vise sammenhængen mellem division af brøker.

·         Lav et arbejdskort til 6.-7.kl, hvor elever kan bruge gættemetoden - hvis jeg gangede med…., så kom der til at stå 1. Det ville ikke passe, for det skal blive…., altså må jeg også gange med….??????

·         Lav opgaver af typen 8:2/3 altså opgaver, hvor det tal, der skal divideres op i(dividenden), er det største fx 6: ¾, 15: 3/9, 21: 1/3

·         Prøv at bruge tallinjen til at illustrere det med. Brug ”målemetoden”, idet I viser, hvordan man kan afsætte  2/3 ud ad tallinjen et antal gange

·         Hvad er fordele og ulemper ved denne repræsentation af division med brøk?

 Den traditionelle tilgang til brøkregning har ofte medført at det er brøker er forblevet meget abstrakt for eleven. RME mener, at det er vigtigt at de røde tråde i stoffet væves sammen fx grundopfattelserne ”lagkagebrøk” (geometrisk repræsentation), division og proportion tænkes sammen (Tal, Algebra og Funktioner s.118). Det er altså vigtigt hele tiden som underviser at have både den vertikale og horisontale matematisering for øje, hvis eleven skal opnå en reel forståelse og indsigt i brøker.

·         Kan man finde frem til regler ud fra den?

Fordelen kan være at ved at opstille brøker på en tallinje, vil eleven kunne danne sig en forståelse og indsigt, som understøttes visuelt. Det er muligt at se, hvordan brøkens værdi forandres. Samtidig vil det være muligt at lave flere tallinjer under hinanden og derved kunne sammenligne størrelsesværdien fx værdier med x/2 eller y/4 i nævneren.

Fatter ikke hvilken regel man kan se midt s.55??????

Refleksion omkring læring af brøker i grundskolen:

Synspunkt 1 hedder brug lommeregner og lav om til decimaltal og regn.

Synspunkt 2 brøklæring er vigtig i 6.-7.kl, da det danner basis for ligninger senere.

Synspunkt 3 Brøkregning kan give talforståelse, som kan basis for senere bogstavregning.

Decimaltal på mellemtrinnet

Diskuter, hvordan det vil være muligt for jer faktisk at inddrage jeres faglighed og jeres viden om, hvordan børn lærer matematik, når I skal undervise i brøk og decimaltal.

Lav tre  oplæg til en klasses arbejde med;

Decimaltal ud fra en hverdag og i relation til brøker

Addition og subtraktion af decimaltal

Multiplikation og division af decimaltal

Hold de tre oplæg for hinanden i studiegruppen og giv kritik og ideer.