Brøk - Decimaltal - Procent

C-kapitlet handler om de tal der kan skrives på brøkform - de rationale tal, og om hvordan jeg kan støtte eleven i at opbygge et brøkbegreb.

Hensigten med kapitlet er at give mig:

Ø  En faglig og pædagogisk-didaktisk kompetence i forhold til brøk, decimaltal og procent

Ø  At arbejde med forskellige repræsentationer for brød

Ø  At undersøge sammenhæng mellem brøk, decimaltal og procent.

Ø   

Da regning med brøker ikke som en tælleremse af naturlige tal kan knyttes til den virkelige verden, kan det være svært for eleven at forholde sig til fx hvilken brøk er størst 2/7 eller 3/8?

Eleven skal også få forståelse for at 2/5 er

Ø  Udtryk for en del af en helhed

Ø  Et tal på tallinjen

Ø  Divisionen 2:5

Ø  En relativ værdi

Ø  Et andet navn for 0,4 og for 40%

Det indledende arbejde med brøkbegrebet

Overvej opgaverne herover i forhold til børn i 4.kl, der skal til at danne sig begreb om brøker. Hvilke egenskaber kan de selv finde frem til? Hvilke kan jeg hjælpe med?

Hvis jeg tager udgangspunkt i den hollandske skoles Realistic Mathematics Education (RME) med den didaktiske ankermand Hans Freudenthal, skal jeg dels forholde mig til, at viden modtages ikke passivt, men opbygges aktivt af det enkelte individ, dels at erkendelse er ikke et spørgsmål om at opdage en objektivt eksisterende verden, men om at organisere ens erfaring (ibid., s.18). Det betyder at jeg skal starte med at finde eksempler som eleven kan relaterer til sin omverden. I ideal situationen sidder eleven ved et bord sammen med x andre, og eleven får en opgave om at dele z antal kiks, så alle får lige meget. Eller der er her 13 kiks. Hvor mange kan hver ved bordet få? Ved uformel afprøven vil eleven sandsynligvis rimeligt nemt kunne dele kiksene en efter en, måske med y i overskud. Men ved at diskutere andre mulige delingsmetoder med kammerater ved bordet kan eleven måske finde frem til en anden metode, der inddrager division fx 13 kiks delt med 3 elever = 4 kiks til hver med 1 kiks i overskud. Som så kan opdeles i mindre stykker, så alle får en tredjedel af en hel. Herved vil eleven aktivt skabe en ny erfaring, som kan omsættes ved guided reinvention til mere systematiseret matematiseringen. Efterhånden som eleven kan sammenholde praksis med en mere systematiske tilgang, kan jeg udfordre ved at skabe en vertikal matematisering - en udfordring for eleven fx ved at inddrage det matematiske symbolsprog.

Freudenthal forholder mig altså at udfordre eleven i en cyklisk uformel, præformel og endelig en formel praksis, der også kræver, at jeg som underviser differentierer de enkelte elever og vurdere om, der er tale om en udfordring hos eleven, der primært har en horisontal eller en vertikal matematisering.

Trådene samles i Adrian Treffers 4 analytiske tilgange til matematikundervisningen nemlig den empiriske, den mekaniske, den strukturalistiske eller RME.

Hvis alle disse didaktiske overvejelser skal overvejes, vil jeg nok hente hjælp i FFM, der er opbygget niveaudelt.

FFM

Tal 4-6kl.

Fase 1

Færdighedsmål: Eleverne kan anvende decimaltal og brøker i hverdagssituationer

Vidensmål: Eleven har viden om brøkbegrebet og decimaltals opbygning i titalssystemet

Læringsmål Eksempler på læringsmål for et undervisningsforløb. Eleverne kan skrive længder med decimaltal. Eleverne kan sætte decimaltal i rækkefølge efter størrelse. Eleverne kan give eksempler på hverdagssituationer, hvor decimaltal bruges. Eleverne kan lave en tegning, der viser en brøkdel. Eleverne kan sætte brøker i rækkefølge efter størrelse.

Tegn på læring Eksempler på tegn på læring for udvalgt læringsmål. Eleverne kan lave en tegning, der viser en brøkdel Herunder er et farvet kvadrat. Tegn en figur uden om kvadratet og beskriv hvor stor en brøkdel, kvadratet udgør af figuren. Eleven skal finde forskellige løsninger, hvor kvadratet udgør samme brøkdel, og løsninger, hvor kvadratet udgør forskellige  Niveau 1 Eleven fremstiller få løsninger med enkle stambrøker, fx  ,   og  . Niveau 2 Eleven fremstiller på opfordring forskellige løsninger for enhver stambrøk. Niveau 3 Eleven fremstiller på opfordring forskellige løsninger for vilkårlige brøker.

Lærebøger og brøker

1.kolorit 4.kl, 2004

Del i ….

Brøker på sømbræt

Der findes en god gratis app, som hedder geoboard, der kan bruges som sømbræt.

Tiendedele og hundrededele….

Hvor meget pizza får de?

C2 Man kan regne med brøker

I C2 skal jeg prøve at få forståelse for hvordan eleven kan arbejde med brøker så de opnår talforståelse, samt lære at lave arbejdsopgaver der kan give eleven mulighed for at finde frem til reglerne for regning med brøk.

Addition og subtraktion med brøker

Lærerens forberedelse af undervisning i 6.kl.

Mål:

at eleven kan arbejde med forskellige repræsentationer af brøker, der adderes og subtraheres

at eleven selv skal kunne finde frem til regler for addition og subtraktion af brøker.

Til forberedelse af undervisningen laver jeg:

1.       Forlængning og forkortning - arbejdskort, hvor eleven kan tegne sig frem til, hvordan man kan forlænge og forkorte brøker.

2.       Addition og subtraktion ud fra tegninger - hvor fællesnævneren kan ses på tegningerne. Vigtigt at eleven arbejder med at ”tegne og tænke”

fx 

Addition og subtraktion med brøkruder - ???

Lav et arbejdskort til addition og subtraktion med lommeregneren, hvor lommeregneren bruges til at hjælpe eleven med at se et mønster i arbejdet og måske kan udlede en regel. Fx

For at eleven skal opdage reglerne addition og subtraktion for brøker, vil jeg bruge nemme forhold som fx ½, 1/4 eller 1/10. Da eleven oftest vil have en erfaringsreference med tal som halve og kvarte eller 25 øre, og da vi bruger 10-talsystemet. Ved at vælge nemme tal i nævneren vil det også skabe bedre overblik for at tilegne sig en forståelse af brøker. Men jeg skal også kunne differentiere/nivellere og åbne mulighed for at vertikal matematisering for de elever, der kunne stille spørgsmål som; hvad så hvis bageopskriften foreskriver 4½ dl? Altså blandet tal, der skal laves om til uægte brøker.

Hvorimod jeg nok ikke ville anvende sværere brøker primært med ulige tal i nævneren som 7, 9, 11 eller 13. Her skiller 3 og 5 sig ud. 3 fordi det er så lille et tal at eleven forholdsvis nemt kan overskue forhold med 3 og 5, fordi det går op i 10´ere.?????

Arbejdskort til addition med klokken til fx opg. ¼ + 2/3

I bogen s.53 beskrives ved tal uden forklaring hvordan en elev er kommet frem til brøken 11/12. Her har eleven først tænkt i hvor mange ¼ deles et ur (cirkel) i hvilket eleven omsætter til 15 min, herefter tænker eleven på samme måde med 2/3 hvor stor en del vil dette svare til i minutter, nemlig 2*20. Dette lægger eleven sammen og får 55 (min), men her skal eleven så igen omsætte det til brøk og det gør eleven ved at tænke at 5(min) svare til 1/12, derfor må 55(min) = 11/12.

Da eleven er stærk i at bruge forskellige metoder til at komme frem til løsningen, vil jeg for at udfordre eleven arbejde med blandede tal i cirkler, inddrage omregning til grader for at udfordre elevens viden i en ny og anden kontekst fx hvor stor en cirkel kan du tegne med dine arme fra strakt arm foran næsen til bag dine skuldre? Eller du skal bage boller til din klasse. Opskriften skriver 4½ dl mel pr.4 personer, hvor meget mel skal du måle af?

Hvis jeg vil bruge ur-metoden til brøkregning vil jeg bruge tal, hvor nævneren vil give mening altså 2,3, 4, 5, 6, 12.

Multiplikation og division

Arbejdskort-opgaver som jeg skal lave til multiplikation ved hjælp af lommeregneren;

1.       det ene tal er et helt tal, og det andet tal er en brøk fx 3*3/8 , 5/8  :3

2.       begge tal er brøker fx 4/6 : 11/12 , 5/8 * 5/8

3.       spørgsmål, hvor eleven skal forklare, hvad denne opdager fx

1.       spørgsmål, hvor denne skal overveje, hvorfor det mon er sådan fx 

Ypsilon bind 1 s.241

Gæt og division

 

I ”Kultur, kundskab og kompetencer - 1A”kap.3 arbejdes med at en brøk kan findes ved at tage udgangspunkt i, at divisionen

3/5 : 2/3  er løsning til ligningen: 2/3 * x = 3/5

Med begrebet ”neutraliserer” kan division med brøker på begge sider af lighedstegnet sættes i kontekst til, at når man gør noget på den ene side af lighedstegnet skal man altid gøre det samme på den anden side. En forholdsvis nem måde at huske hvordan eleven skal dividere brøker og ikke mindst at vise sammenhængen mellem division af brøker.

·         Lav et arbejdskort til 6.-7.kl, hvor elever kan bruge gættemetoden - hvis jeg gangede med…., så kom der til at stå 1. Det ville ikke passe, for det skal blive…., altså må jeg også gange med….??????

·         Lav opgaver af typen 8:2/3 altså opgaver, hvor det tal, der skal divideres op i(dividenden), er det største fx 6: ¾, 15: 3/9, 21: 1/3

·         Prøv at bruge tallinjen til at illustrere det med. Brug ”målemetoden”, idet I viser, hvordan man kan afsætte  2/3 ud ad tallinjen et antal gange

·         Hvad er fordele og ulemper ved denne repræsentation af division med brøk?

 Den traditionelle tilgang til brøkregning har ofte medført at det er brøker er forblevet meget abstrakt for eleven. RME mener, at det er vigtigt at de røde tråde i stoffet væves sammen fx grundopfattelserne ”lagkagebrøk” (geometrisk repræsentation), division og proportion tænkes sammen (Tal, Algebra og Funktioner s.118). Det er altså vigtigt hele tiden som underviser at have både den vertikale og horisontale matematisering for øje, hvis eleven skal opnå en reel forståelse og indsigt i brøker.

·         Kan man finde frem til regler ud fra den?

Fordelen kan være at ved at opstille brøker på en tallinje, vil eleven kunne danne sig en forståelse og indsigt, som understøttes visuelt. Det er muligt at se, hvordan brøkens værdi forandres. Samtidig vil det være muligt at lave flere tallinjer under hinanden og derved kunne sammenligne størrelsesværdien fx værdier med x/2 eller y/4 i nævneren.

Fatter ikke hvilken regel man kan se midt s.55??????

Refleksion omkring læring af brøker i grundskolen:

Synspunkt 1 hedder brug lommeregner og lav om til decimaltal og regn.

Synspunkt 2 brøklæring er vigtig i 6.-7.kl, da det danner basis for ligninger senere.

Synspunkt 3 Brøkregning kan give talforståelse, som kan basis for senere bogstavregning.

Decimaltal på mellemtrinnet

Diskuter, hvordan det vil være muligt for jer faktisk at inddrage jeres faglighed og jeres viden om, hvordan børn lærer matematik, når I skal undervise i brøk og decimaltal.

Lav tre  oplæg til en klasses arbejde med;

Decimaltal ud fra en hverdag og i relation til brøker

Addition og subtraktion af decimaltal

Multiplikation og division af decimaltal

Hold de tre oplæg for hinanden i studiegruppen og giv kritik og ideer.