Delta kap.10 Matematiske didaktiske skoler især RME

 kap.10

I kapitlet arbejder bogen med forskellige matematisk didaktiske skoler. Først kort om Cobbs og emergerende perspektiv og så om den franske skole med Guy Brousseaus og Realistic Mathematics Education (RME) den hollandske skole med Hans Freudenthal.

Fokus og den viden jeg skal have opsamlet efter læsning af kapitlet er især omkring RME herunder;

·         Forståelse af centrale begreber omkring RME

·         Forståelse af hvordan RME udskiller sig fra andre tilgange til mat.us.

·         Kan benytte RMEs begreber som analytisk værktøj i relation til bøger og praktisk undervisning.

Begrebet Radikal konstruktivisme (RK) bruges ofte i Delta, derfor genopfrisker jeg begrebet kort her igen. RK er også beskrevet i Delta kap.2 (Delta s.70)

Teorien bygger på to grundlæggende principper som især Ernst von Glasersfeld har været fortaler for:

• ·         Viden modtages ikke passivt, men opbygges aktivt af det enkelte individ.
• 
  
• ·         Erkendelse er ikke et spørgsmål om at opdage en objektivt eksisterende verden, men om at organisere ens erfaring (ibid., s.18)

I RK benyttes også Piaget, der igen henviser til biologien. 

Piaget beskriver to udviklingsmuligheder; 

1. Assimilation, der er en udvikling der svarer til organismens indbyggede genetiske forudsætninger. Mens nr.2 Akkommodation er en ændring af udviklingsmønstret som reaktion på de betingelser, som nye omgivelser sætter.

Det er altså i en biologiske forstand tale om tilpasning.

Læreren bør arbejde på metakognitive skift (Paul Cobb) dvs. fokus på elevens arbejde bør ligge i dennes kommunikationen/overvejelser om, der kan være andre måder at arbejde med et matematisk problem og om kan der være andre svar.

Cobbs arbejder med begrebet emergerende perspektiv ud fra RK tankegangen. Han mener at konstruktivismen også må medtænke de interaktioner, der foregår i undervisningen - både mellem elever/lærer og elever/elever. Og ikke nok med det, også elevens sociale normer må med ind for at forstå, hvordan læringen sker.

RME

E står for education (undervisning). Men E står også for matematisk uddannelse.

Central for RME er at matematisering er et indhold i undervisningen, da det er det eleven skal lære: 

at blive bedre til at matematisere. Samtidig er det også en metode. Da måden at lære at matematisere på, er ved at gøre det, med udgangspunkt i en omverden-kontekst. 

For her vil eleven opnå en større grad af forståelse end ved færdigudviklet formel matematik.

R i RME står for at tilgangen til matematiske problemstillinger skal være realistisk for at eleven kan have en form for erfaring og viden om problemet. Men det hollandske ”realiseren” kan også betyde at indse eller erkende.

Freudenthal siger at der er et simpelt svar på spørgsmålet om, hvad eleverne matematisk skal arbejde med: deres egen virkelighed (1991, s.50) Oplægget skal altså præsentere en situation, som eleverne kan forestille sig og se sig selv som en del af.

Oplæg1

Overvej og diskuter om og hvordan eksemplet adskiller sig fra andre der kan bruges til introduktion af division.

En fælles matematisk klasserumspraksis bliver ofte at benytte multipla af 10 som udgangspunkt og skip tælle videre derfra. Altså 6*10 + 6….+….

Freudenthal kalder det for en anti-didaktisk inversion, når eleven lærer med den traditionelle metode i matematik, hvor eleven først lære ”håndværket” fx lære at bruge brøker for så senere at arbejde med brøker i virkelige problemstillinger. Ideen i RME er i stedet at begynde med et problem i noget, der har reel omverdenskarakter for eleven og så lade dem systematiser egne og andres løsninger på problemet.

Efterhånden som eleven udvikler fx talbegreber, får tallene selv nærmest genstandskarakter. Tallene bliver en del af elevens verden, og derved kan de blive udgangspunkt for matematiske undersøgelser på et højere niveau.

Det centrale for Freudenthal er at matematikken er ”fraught with relations”, det skal for de pågældende elever være ladet med relationer til elevens liv.

 Det matematiske i RME

I oplæg1 har eleven ikke fået en matematisk metode til at finde en løsning. Eleven har derfor en problemagtig udfordring, som denne må trække på fra tidligere faglig forståelser og færdigheder. 

Først når eleven (med hjælp) forstår, at systematisere og derfor genkender lignende situationer fremadrettet vil der være opnået en større grad af forståelse end oprindeligt.

Denne systematisering ”skematisering” kaldes i RME for progressiv skematisering. At benytte mulitpla af 10 ovenover er første skridt i den retning.

M´et i RME betyder matematik. 

Her forstået som ovenover beskrevet nemlig en aktiv proces, der er matematisk kontekst-problem-orienteret. 

Det omfatter bl.a.

Ø  At finde ligheder og forskelle på situationer og måder de kan behandles på.

Ø  At generalisere spørgsmål, metoder og løsninger

Ø  At benytte symboler til beskrivelse og manipulation af fænomener

Ø  At udvikle definitioner

Ø  At videreudvikle metoder, så de får algoritmekarakter

Ø  At finde, forstå og forklare mønstre

Ø  At udvikle og bruge formler

Ø  At bevise

Ø  At aksiomatisere

En udvikling af en algoritme ud fra ovenstående bord eksempel kunne se således ud

Oplæg2

Sammenlign denne algoritme med andre, du kender. Hvad ser du som fordele og ulemper ved denne her?

Udviklingen af algoritmer sker fra uformel - tegne borde, over præformel som opsætning i skema herover til formel abstrakt bearbejdelse af en kontekst. Det er kendetegnet ved RMEs tilgang til matematik. 

Når Freudenthal siger, at et er matematiseringen og ikke matematikken eleven skal genopfinde, er det især denne fremadrettet cyklus; uformel-præformel og formel, der tænkes på.

Horisontal og vertikal matematisering

Freudenthal mener det er matematisering når;

Ø  elever i 3.kl systematiserer måder, hvorpå de kan finde det antal borde, der skal bruges til et forældremøde

Ø  når de nogle år senere skal lede efter måder at finde primtal på

Ø  når man i læreruddannelsen kan arbejde med, hvilke tal der kan fås som sum af nogle på hinanden følgende tal.

Fælles er systematisering og ræssonering, selvom det er på forskellige niveauer.

Adrian Treffers mener, at der er brug for bredere anskuelsesvinkler, da han mener, at der er forskel mellem første pkt. med 3.kl, der tager udgangspunkt i omverdenen - Horisontal matematisering, mens videreudviklingen af metoden med mulipla af 10 tager udgangspunkt i matematikverdenen og er derfor en vertikal matematisering. Vertikal matematisering skal her også forstås som et niveau-skift.

Det kan være umuligt at skelne om det er en horisontal eller vertikal matematisering en elev anvender. Freudenthal mener at horisontal matematisering er områder der endnu ikke er sat på matematisk symbolform, mens den vertikale matematisering er et spørgsmål om at videreudvikle noget der allerede er på matematisk symbolsk form.

Oplæg3

Overvej og diskuter, hvilke matematiseringsformer der med Freudenthals terminologi er på tale, når eleven skal finde summen af 8+8+8----(12 addender) og siger: Ti ottere er 80, og så er det 88 og 96

Oplæg4

Diskuter hvad der er forskelle og ligheder mellem Freudenthals definition af horisontal og vertikal matematisering og den bogens forfattere foreslå s.396

Oplæg5

Oplæg6

Konteksten, stofdidaktikken og de faglige produkter

Hos RME er det vigtigt at eleven lære at tolke kontekst og at de derved kan sætte det i sammenhæng med et resultat. Fx er der forskel på følgende resultater A 81 forældre skal sidde ved borde med seks ved hvert. Hvor mange borde er der brug for? B. Et reb på 81 m skal deles i 6 dele. Hvor lang bliver hver del?

Undervisning og uddannelse i RME

 “The best way to learn an activity is to perform it” (Freudenthal 1973, s.110)

Hermed mener han, at det er vigtigt at eleven er aktiv I matematiserings-processen med læreren i rollen som introdukator til vertikal matematisering. Undervisningen skal altså skabe mulighed for matematisering af elevens læring.

Guided reinvention

Lærerens vigtigste opgave er at støtte eleven i guided reinvention (guidet genopfindelse) af den formelle matematik gennem processen fra uformel, præformel til formel matematisering med rette vertikal matematisering, således at eleven opnår færdigheder og forståelser, der er i overensstemmelser med fagets standarder.

Treffers (1991, s.24 ff) har nævnt 5 punkter til guided reinvention der bør indgå i lærerens overvejelser;

1.       at vælge udgangspunkter, der - for de pågældende elever - er så konkrete, at de har omverdenskarakter.

2.       at støtte overgangen fra uformelle og kontekstafhængige løsninger til præformelle og sluttelig formelle løsningsmetoder og begreber. Hertil siger Treffers at det er nødvendigt for elevens læring at denne reflekterer over egne og andres løsningsforslag, og at læreren er opmærksom på elevens uformelle tilgang og løsning for at kunne bruge det som udgang til vertikal matematisering.

3.       at eleven stilles over for oplæg, der fordrer refleksion over egne og andres metoder og som provokerer til at tænke fremad.

For at få eleven til at tænke nyt foreslår Treffers to metoder. Den første hos RME kaldes free productions, dvs. problemer og spørgsmål som eleven selv formulerer fx kom med ex på nem og svær division, vis to forskellige løsningsmåder og forklar hvad der gør dem svære eller lette. Den anden kaldes klumpet oversat for konfliktproblemer fx to divisoren har begge resultatet 31 rest 12. er de to divisioner nødvendigvis ens?(? Resultatet der fremkommer med divisoren 36 vil være 31 1/3, mens hvis divisoren er 24 er resultatet 31½.??)

4.       at der gives mulighed for social interaktion mellem elever, for at de får mulighed for at diskutere, udfordre og videreudvikle hinandens forslag og free productions.

5.       at eleven får mulighed for at opbygge forståelse af sammenhængende vidensstrukturer dvs. at faget og dets ikke matematiske anvendelser ikke skal ses adskilte - eleven skal ikke først mekanisk lære at dividere for så at sætte det i en rigtig kontekst. Der skal aktivt sammentænkes mellem horisontal og vertikal matematisering.

Oplæg10

Hvilket typer spørgsmål kan jeg stille for at fremme RME undervisningen?

Det grundlæggende formål med RME (realistisk matematik) er, at matematik kan relateres til konteksten. RME undervisning er stærkt procesorienteret. Der er et problem der skal løses systematisk modsat traditionel undervisning, hvor læreren første præsenterer en metode og derefter håber, at forståelsen og problemløsningen følger.

Følgende eksempel tager derfor afsæt i en kontekst, der er realistisk for eleven samtidig med at læreren har øje for systematikken i procestilgangen. Herved skaber læreren en fremadrette proces.

Jeg kan stille spørgsmål, som fx 5 personer skal dele 1 pizza. Hvor mange stykker skal pizzaen deles i, når I skal have lige meget? 

For at fremme RME vil næste spørgsmål lyde; hvis der er 2 pizzaer, hvordan kan de så deles? Samme spørgsmål stilles også med 3 og 4 pizzaer.

 Alt efter hvor jeg er i undervisningen så kan jeg arbejde videre med 5, 6 og 7 pizzaer, hvor jeg arbejder med heltal og brøk.

Når eleven har en forståelse for brøker, så kan jeg stille spørgsmål som, hvad hvis der af 8 pizzaer er en vegetarpizza og Muhammed er muslim, hvordan skal pizzaerne så deles?

Eller hvad hvis der skal være mulighed for at prøvesmage alle pizzaer, som er forskellige?

Guided discovery (guided opdagelse) er et begreb, der benyttes pædagogisk især omkring matematiske materialer. Misforståelsen her er, at Guided discovery fremstilles som om at ved at benytte disse materialer, vil eleven opdage matematikken, men fortolkningen bør mere være, at hvis eleven har matematiseringen omkring materialet vil denne kunne se, at materialet vil kunne bruges til at forklare et problem. 

RME qua Freudenthal mener i stedet, at det er læreren der skal lave det pædagogiske tankeeksperiment (1973, s.100 ff.). Ved at læreren tager udgangspunkt i en stofdidaktisk analyse fx hvad er de centrale elementer i division, bør læreren herudfra udvikle et oplæg i kontekster, som eleven kan tage afsæt fra. Her kan læreren bl.a. med støtte i FFM se efter tegn på læring, altså fra den uformelle matematisering over præformelle og til den formelle matematisering.

RME og andre tilgange til matematikundervisning

Treffers siger der er 4 retninger i matematikundervisningen - en empirisk, en mekanisk, en strukturalistisk og en realistisk tilgang. Hans 4 retninger kan bruges til analyseredskab i praktisk undervisning.

Empirisk matematikundervisning fx matematik tak. Der tages udgangspunkt i hverdagsmatematik og der arbejdes med horisontal matematisering. Der arbejdes dog ikke i uformel, præformel til formel matematisering.

Mekanisk matematikundervisning har fokus på proceduremæssige færdigheder. At lære de rigtige algoritmer.

Strukturalistisk matematikundervisning har fokus på standardiserede faglige forståelser og metoder. Der arbejdes med, at eleven kan overføre forståelser og metoder på et stadigt mere komplekst niveau - altså en vertikal matematisering, men ofte uden en horisontal matematisering altså med udgangspunkt i elevens omverden.

RME matematikundervisning

Oplæg11

Oplæg12