Tal, Algebra og Ligninger, Kap.7, Negative tal og repræsentationer.

Negative tal og repræsentationer

Hensigten med kapitlet er at jeg;

·         Lærer hvad negative tal er, og hvordan jeg regner med dem

·         Lærer at bruge repræsentationer som et matematiskdidaktisk værktøj

·         Lærer at forklare de negative tals regneregler

·         Lærer om børns forestilling om negative tal

Repræsentationer i matematikundervisningen

NCTM 2001 anser repræsentationer som et pædagogisk middel til at lære matematik og at det samme matematiske sagsforhold kan forstås som det at kunne ”sige” det samme på forskellige måder fx Pi som decimalbrøk 3, 141…, som en rational tilnærmelse 22/7 eller som omkredsen af en cirkel med diameter 1.

Stylianou(2011) påpeger at matematiske objekter i modsætning til fysiske objekter kun er tilgængelig gennem repræsentationer som værktøj og kommunikationsmiddel fx grafer, symboler, talte og skrevne ord.

Goldin & Shteingold(2001) mener man skal skelne mellem indre og ydre repræsentationer. Fx er der to ydre repræsentationer i y = 2x + 3 og det at tegne den rette linje i et koordinatsystem - da de begge findes fysisk og kan se af alle. Tilsvarende findes indre repræsentationer inde i elevens hoved, da læring må antages at foregå i forhold til de indre repræsentationer. Især fx elevtegninger og elevens kommunikation kan gøre indre repræsentationer tydelig for læreren/mig. Et eksempel kan også være gangetabeller, som er lagret som indre repræsentation, men vises udadtil fulgt af en fremsigende rytme eller klappen med hænderne.

Repræsentationer og kognitive forhindringer

Det er vigtigt som underviser altid er forholde sig til repræsentationerne for ikke at ende i en ”kognitiv forhindring” RME kalder dem for heltalsdistraktioner. fx hvis jeg som underviser på de små klassetrin kun lærer eleven at der findes positive hele tal. Derved vil eleven på et tidspunkt opleve kognitiv forhindring, når denne skal til at lære, at dette alligevel ikke er korrekt.

På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal

Kineserne arbejdede med negative tal som repræsentation allerede for 2000 år siden. De havde røde regnepinde for tal, der skulle lægges til og sorte regnepinde for tal der skulle trækkes fra. Denne type repræsentationer kan kaldes antals- eller mængderepræsentationer.

Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer

Udgangspunktet er at eleven skal få en fornemmelse af, at de hele tal består både af de naturlige tal, og de tilsvarende negative tal og 0.

Gældsrepræsentationen

 Regneregler

• 1.       (-n) + (-m) = - (n + m)
• 2.       n + (-m) = n - m
• 3.       n - (- m) = n + m

Talaksen i form af et termometer/tallinje

Super hvis jeg kan lærer eleven positionsrepræsentationen via en tallinje/et termometer. Eleven kan bedre få en forståelse for de negative tal ved fx at se at temperaturen er under nul. Brousseau betegner det a-didaktiske (uden lærer), når eleven selv kan arbejde sig gennem forskellige delmål ved fx at kunne kontrollere om denne er på rette vej. Min lærerrolle bliver herved at træde ind på banen og samle op og præcisere til sidst.

Overvej-diskuter1

Lav fx et forløb med regneregel 3 opdelt i delmål, således at eleven selv finde frem til evidence.

Fx Vis at 7 - (- 3) er = 10

1.   Tegn med lineal en tallinje og afsæt for mærke for hver 1 cm.
2.  Indsæt ved mærker talrækken fra -10, -9, -8…..frem til +10.
3.   Afsæt på tallinje +7
4.  Afsæt det negative tal (- 3) på tallinjen.
5.  Aflæs hvor stor er afstanden mellem +7 og (- 3) 
6. Den er = +10.

Herudfra kan jeg uddrage, at jeg ”gør det omvendte” af at trække det negative tal (- 3) fra. Jeg lægge +3 til +7, hvilket giver 10. Hermed er regnereglen 3 vist.

Moderniseret kinesisk kuglerepræsentation

Den kinesiske og ældst kendte repræsentation af negative tal regnepindemåde med de røde(+) og de sorte(-) kan også overføres nogle regneregler for multiplikation og division af hele tal

Regneregler

n x (- m) = -(nm)

(- m): (- n) = (m: n)

Den første regneregel kan vises ved fx

3 x (- 2) = - (3 x 2)

Ved at tage (- )2 tre gange, altså (- 2) + (- 2) + (- 2) kender eleven fra regneregel 1 med addition (- n) + (- m) = - (n + m) brugt to gange, hvilket giver - (2 + 2 + 2) eller - (3 x 2)

Den anden regel vises ved fx 

(- 6): (- 2) = 6: 2, forstås, hvor divisionen opfattes som måling. For herved betyder (- 6): (- 2) at eleven skal måle, hvor mange gange denne kan tage 2 ud af 6.

Øvelse3

Fremstil illustrationer til udregninger af nedenstående ex;

Overvej/diskuter2

Overvej om der i et moderne barns verden findes bedre repræsentationer, eller kom med gode ideer til konstruktion af repræsentationer fx apps?????

Øvelse5

Undersøg lærebogssystemer og beskriv hvordan de behandler regning med negative tal.

Forskning i børns repræsentationer

Det har vist sig at da børn oftest først stifter bekendtskab med negative tal på mellemtrinnet kan der være en risiko for at der opstår en kognitiv forhindring for at tilegne sig de negative repræsentationer. Jeg bør altså som lærer være opmærksom på dette og evt. lade børn stifte bekendtskab allerede i indskolingen via fx antalsrepræsentation figur (Goldin&Shteingold. 2001, s.13)