Delta kap.9 Evaluering af matematikundervisningen

Kap.9

Evaluering i matematikundervisning

Evaluering skal forståes bredt om enhver systematisk, faglig vurdering, der har til formå at vurdere eleven. Altså find ud af udbytte af undervisningen i form af faglig udvikling. Fx en test.

En evaluering skal have et uddannelsesmæssigt formål - fremadrettet.

Oplæg1

Standards 2000 betegner evaluering som grundlæggende og en nødvendig fuldintegreret del af undervisningen (NTCM 2000 s.22 ff) og det skal ikke være en separat aktivitet, der betragtes som en afbrydelse af almindelig undervisning.

I Danmark bruges siden 2007 ligesom mange andre lande obligatoriske nationale tests.  Så spørgsmålet er for matematiklæreren, hvordan bruge testene til noget konstruktivt i elevens læreproces.

Forudsætningen for dette er at jeg;

• ·         Kan analysere og diskuter grundlæggende intentioner, karakteristika og principper for evaluering
• 
  
• ·         Har et grundigt kendskab til en række forskellige evalueringsformer
• 
  
• ·         Kender til problemer, der er med at evaluere forskellige aspekter af faget, og kan forholde sig til forskellige evalueringsformers styrker og svagheder i den sammenhæng.
• 
  
• ·         Er klar over, hvordan evaluering kan have indflydelse på hvad der opfattes som vigtigt i undervisningen.

Et historisk tilbageblik

I 1500-tallet er der ifølge Kilpatrick eksempler på ønsket om at vurdere elevers intellektuelle styrke og karakter, men først i start 1900-tallet (Binet-Simon test) speede udviklingen op.

Thorndike udviklede test fra 1908-1916 - Thorndike anses også som grundlægger af behaviorismen i USA. Samtidig anså man i USA at enhver skulle hurtigst muligt testes for at finde frem til medfødte muligheder (Shepard 2000, s.4).

For at undervisningen skulle være mest effektiv indførtes faste læseplaner og lærebøger, der skulle følges præcist og omhyggeligt af læreren og undervisningens resultater skulle kontrolleres med tests. Tanken var ifølge Shepard at læring sker gennem akkumulering af små dele viden -den er opbygget i en hierarkisk rækkefølge - ofte testning for at sikre at stoffet kunnes - motivation kommer udefra i form af positiv feedback.

Oplæg3

Evalueringens formål, karakteristika og pejlepunkter

To grunde til evaluering;

1.       Summativ evaluering. Dokumentation af elevens formåen på et givent tidspunkt (produktkontrol) fx færdighedsprøven eller prøve som afslutning af et undervisningsforløb.

2.       Formativ evaluering. Evaluering for at kunne planlægge fremadrettet ud fra elevens aktuelle kunnen og forståelse. Evalueringen er en interaktiv proces der skal give læreren indsigt i elevens læreproces til bedre at kunne tilpasse undervisningen, så den imødekommer elevens behov (Wiliam 2007, s.1054).

Ofte vil det ved formativ evaluering ske i form af;

·         Samtaler med eleven om forståelse af fx gange med udgangspunkt i nogle opgaver

·         Skriftlige kommentarer til et projekt

·         Klassediskussion af en præsentation i klassen af fx en elev undersøgelse med målinger

To andre forhold jeg bør tage. 

For det første evaluerer jeg nu også det jeg gerne vil evaluere? 

Er målet at en elev kan producere korrekte svar (Høj validitet). Eller vil jeg evaluere forståelsen af hvordan et matematisk fokuspunkt kan anvendes? 

For det andet bør jeg overveje om eleven vil få samme bedømmelse, hvis det fx var en anden lærer der foretog testen? Eller eleven tog testen en anden dag? En evaluering der ikke er påvirket af tilfældige forhold kaldes for reliabel.

Oplæg4

Principper for formativ evaluering

Evalueringsforsker David Clarke siger at evaluering fra min side bør omfatte indsamling af viden, fortolke, drage konklusioner og handle herudfra. For eleven er evaluering en chance for at vis hvad denne har lært.

Clarke har udformet (1997) 5 principper til en konstruktiv evaluering;

• ·         Repræsentere undervisningens mål og værdier,
• ·         Være en udveksling af information,
• ·         Optimere elevernes muligheder for at vise, hvad de har lært, 
•        Have undervisningsmæssig værdi,
• ·         Informere kommende tiltag i undervisningen.

Standards 2000 har også tanker om evalueringens formål;

• ·         Den skal reflektere det eleven bør kende til og kunne arbejde med
• ·         Fremme læringen
• ·         Bidrage til lighed ved at eleven kan vise hvad denne kan og hvad denne ikke kan og jeg kan hjælpe den dårlige elev videre
• ·         Være en åben proces, så elever og andre ved, hvad der skal evalueres og hvordan
• ·         Fremme gyldige konklusioner vedr. elevernes læring????
• ·         Være en proces der hænger sammen med det, der anses for vigtigt og de måder, der er undervist på ???

Lange(1993, s.199) fremhæver disse evaluerings mål;

• ·         Evaluering skal være en integreret del af læreprocessen
• ·         Den skal give mulighed for eleven at vise hvad de kan og ikke hvad de ikke kan.
• ·         Evaluering skal kunne måle alle mål????
• ·         Formen skal ikke dikteres af muligheder for objektiv scoring???
• ·         Evalueringen skal være praktisk så den kan passe ind i skolens hverdag???

Oplæg5

Evalueringens indhold og kompleksitet

Diskussioner om mål og indhold i forhold til evaluering er kompleks, for hvad ønsker man at måle? Er det elevens færdighedsbeherskelse, begrebsforståelse eller beherskelse og forståelse af faglige processer fx kompetencer? Det er fx svært at evaluerer, hvad en elev har forstået om en regningsart.

Endnu sværere bliver det med kompetencer, der har elementer af færdighed og forståelse i sig. Men også at eleven kan stille spørgsmål, ræsonnere, problemløse eller modellere. Her må jeg fortolke, da det ikke på samme måde som ved færdighedsregningen kan være reliabel.

Oplæg6

Dybest set er evaluering komplekst og desto mere kompliceret viden der skal evalueres, desto sværere bliver det og mere meningsløst at sætte et præcist mål på det fortolkede resultat,

Evalueringens effekter

Backwash-effekten af evaluering afspejles i 3 sammenhængende dele. 

1. hvad er væsentligt i matematikundervisningen. 2. en god feedback til eleven må give en læring hos eleven. 3. elevens selvopfattelse formes, især hvis der gives karakter (Wiliam m.fl. 2004, s.50).

Backwash og synet på matematik

Flere undersøgelser viser, at alt efter hvad der testes i til prøverne, så vil læreren og eleverne anse disse dele for det vigtigste at lære i undervisningen. Altså en positiv bachwash effekt inden for disse matematiske kompetencer.

Bachwash og elevernes umiddelbare udbytte

Wiliam refererer til undersøgelser over værdien af læreren feedback til eleverne. Udkommet af feedback er for mig noget overraskende……

Wiliam refererer også at ros ikke nødvendigvis fremmer læreprocessen. Den bedste feedback fås, når den har fokus på, hvad der er nødvendigt at gøre for at opnå fremgang. Vigtigt at eleverne får at vide, hvad de skal gøre og ikke, hvordan de har klaret sig (ibid., s1085).  Clarke fremføre også, at et enkelt tal ikke kan fange kompleksiteten i det en elev kan.

Oplæg7

Oplæg8

Nationale tests og mulig anvendelse i fremadrettet henseende

Oplæg9

Evalueringsformer

Oplæg10

Ovenover forskellige eksempler på evalueringsformer. 

Og herunder nogle spørgsmål om, hvad jeg bør overveje før en evaluering.

Oplæg11

Minutevaluering 

(Mogensen 2002, s.14) er en simpelt hurtig evalueringsform på 2 spørgsmål, der udfyldes sidst i timen. 1. hvad var det vigtigste jeg lærte? 2. Hvad er jeg stadig i tvivl om? I starten af timen noteres, hvad er målet for undervisningstimen.

Absolut kerne i selvevalueringer er at placerer ansvaret hos eleven.

Det er svært for elever at lave selvevaluering, da det kræver en meta-kognitiv indsigt, men Wiliam beskriver, at efterhånden vil selv- og kammeratevaluering medføre, at eleven udvikler kriterier for at vurdere kvaliteten af arbejder. Desuden bliver elever bedre til at arbejde sammen (Ibid., s.83).

Gruppe- og par-evaluering

Ideen er at det er eleverne der skal være aktive i processen.

Traffic light metoden (Wiliam 2001) Efter en fremlæggelse gives feedback i form af - grøn, for forklaring over ens eget niveau, - gul gives for forklaring på ens eget niveau, og - rød gives for en forklaring under ens eget niveau.

Oplæg12

At ændre oplægget eller bede eleverne producere dem selv

Heuvel-Panhuizen (1994) beskriver at den formative evaluering kan blive bedre ved at inddrage ikke-matematiske kontekster. Herved fremmer det eleven til at tænke i flere ukonventionelle løsningsstrategier, dels gøres det mere tilgængelig for eleven.

Oplæg13

Oplæg14

En anden vinkel er at lade eleverne selv konstruere opgaver fra bunden. Fx i forbindelse med procenter: konstruer en nem og en svær opgave om procenter og løs dem begge. Forklar hvorfor de var nemme og svære.

Oplæg15

Fri skriftlig besvarelse med tegning, ord og symboler

Inspireret af Heuvel-Panhuizen og PRIM fra Sverige evalueret ved at eleven får én opgave på et stykke A4, således at der er plads til både tegninger, og og/eller matematiske symboler. Herudfra kan læren danne sig et overblik i klassen, hvilke elever der især kræver fokus.

Oplæg16

Brev til oldemor

En evalueringsmetode der består i at skrive et brev til oldemor, om det de har lært i klassen for nylig.

Registrering af observationer i klassen

Ved at lave en systematisk registrering vil læreren kunne opnå en opkvalificering og derved en større indsigt i elevens kunnen end ved kun at basere sine betragtninger på klassesamtaler, dialog og samvær i klassen.

Oplæg17

Dialoger og klassesamtaler

Sfard fremhæver at det er vanskeligt at indgå i en dialog med en elev, uden at denne bliver mere optaget af dialogen end af det indhold, som eleven skal lære om.

Oplæg18

Oplæg19

Hvad er den grundlæggende forskel på summativ og formativ evaluering?

Oplæg20

Beskriv meningen med ordene validitet og reliabilitet i relation til evaluering.

Oplæg21

Lav en plan….. ja tak

Delta kap.8, Målsætning og planlægning

Delta kap.8 

Målsætning og planlægning

Skolen har både en sorterings- og en opbevaringsfunktion. Væsentligst er dog at holde skole for at uddanne. Altså det samfundet ønsker at opdrage og uddanne børn til at blive en del af. Heraf indgår også en socialiseringsfaktor, nemlig at blive opdraget til demokrati og medbestemmelse.

Det er dog fagene, der er den organisatoriske enhed, der dominerer i skolen. For læreren gælder det om at omsætte fagmål til læringsmål i dagligdagen via årsplaner og planlægge korte sekvenser.

I kapitlet gennemgåes:

Ø  Hvordan formuleres en årsplan ud fra skriftende læreplaner og forskellige lærebøger?

Ø  Hvordan medtænkes matematiske kompetencer?

Ø  Hvordan sikres at både produkter og processer afspejles i planlægning?

Faglige fokuspunkter

Hvis de overordnede indholdsområder bliver for uklare, kommer der til at mangle ledetråde i undervisningen. Fx hvilke opgaver skal vælges eller fravælges?

Læreren kommer til at mangle mål for observationer af elevens arbejde og dermed manglende mulighed for at lave en fremadrettet evaluering.

I 2006 udgav NCTM(s.290) rapporten CFP (s.290) der er en beskrivelse af problematikken omkring manglende fokuspunkter.

Med fokuspunkter menes en sammenhængende klynge af viden, færdighed og begreber. Disse klynger er nødvendige forudsætninger for eleven i den læreproces, der skal finde sted og for fremtidig matematikundervisning.

På hvert klassetrin fokuseres der på et antal væsentlige begreber og færdigheder, der kan fungere som et skelet for udformningen af en årsplan. Eleverne opnår derved en omfattende erfaring med kernebegreber og færdigheder, der går det muligt også at kunne generalisere metoder og resultater (CFP 2006 s.5).

Fokuspunkterne peger både fremad og tilbage i forhold til elevens øvrige arbejde, og de kan tjene som organisations- og planlægningsenheder for undervisningen.

Fokuspunkterne sammentænkes med vægtning på de fem processtandarder (Standards 2002), som er problemløsning, ræsonnement og bevis, kommunikation, forbindelser og sammenhænge samt repræsentation.

I CFP identificeres tre faglige fokuspunkter på hvert klassetrin og sammen med undervisning i Standard Processes tankegang vil dette give en basis for elevens fortsatte faglige udvikling.

Fokuspunkter i 7.kl. - ud fra FFM

Algebra

Geometri og måling

Deskriptiv statistik, tal og regningsarter samt algebra

CFP fremhæver at det ikke kun er fokuspunkterne der er undervisningen, men at der også lægges vægt på faglige processer. I dansk sammenhæng tænkes her KOM-rapporten (Kompetencer og matematiklæring. Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen i Danmark. Niss & Jensen, 2002. s.238) KOM sætte pensumnititis som en faktor, der reducerer fagligheden.

Kompetence betyder hos KOM, at en elev er i stand til at begå sig med gennemslagskraft, overblik, sikkerhed og dømmekraft inden for et område (KOM 2002. s.43). 

Kompetencerne betyder at eleven skal kunne spørge og svare i, med og om matematik og kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber.

Delta s.296

At spørge og svare i, med og om matematik

Ø  Tankegangskompetence- at kende spørgsmål- og svarkarakteristika, at kunne skelne mellem def. sætning og bevis og fænomenologiske påstande og enkelttilfælde. Fx Bevisførelse

Ø  Problembehandlingskompetence - at kunne finde på, formulere og løse mat-problemer. Fx???

Ø  Modelleringskompetence - at kunne analysere og anvende matematiske problemer uden for matematikkens verden. Fx???

Ø  Ræsonnementskompetence - At kunne forstå og selv udtænke matematiske ideer. Fx

 At kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber

Ø  Repræsentationskompetence - at kunne forstå og anvende matematikkens sagsforhold. Fx symbolske, geometriske, grafiske eller verbale repræsentationer.

Ø  Symbol- og formalismekompetence - af kunne afkode og aktivt benytte og videreudvikle formler.

Ø  Kommunikationskompetence - at kunne sætte sig ind i og fortolke matematik både skriftligt, mundtligt eller visuelt. Fx matematiklogbog.

Ø  Hjælpemiddelskompetence - hensigtsmæssig valg, kendskab til og selvstændigt valg af hjælpemidler.

Oplæg2

Fortolke de otte kompetencer i KOM og find eksempler på god mening af kompetencer.

Oplæg3

Bedøm ud fra 8 eksempler i Delta s.300, hvilke KOM kompetenceområder de dækker.

Oplæg4

Prut

Oplæg5

Prut igen

Kompetencer og fokuspunkter

Det er sjældent mulig at have alle otte kompetencer med i et enkelt undervisningsforløb.

Når der vælges et fokuspunkt er det ikke meningen at eleven skal terpe uendelige mange stykker at denne færdighed, men at eleven får mulighed for at udvikle en større forståelse for denne matematiske kompetence. Derfor skal læreren være opmærksom på, hvilke undervisningsaktiviteter der vælges og hvordan eleven skal arbejde med disse - dvs planlægning er alfa og omega.

Oplæg6

Oplæg7

Planlægning af undervisning

I planlægningsfasen reflektere jeg inden undervisningen i matematiske facilitering dvs. en undervisningspraksis der er rettet mod elevernes tilegnelse af fagligt indhold og deres deltagelse i faglige fællesskaber.

Didaktisk analyse

Pedro Gomez (2002, s.286) mener at bedste planlægning er korte undervisningsforløb (1-8 timer), da det giver lavere risiko for en opremsning af overordnet indhold. Altså fokus på få punkter. Gomez arbejder ud fra en didaktisk analyse som en cyklisk proces.

·         Mål og indhold - målet præciseres ud fra FFM

·         Forforståelse mit kendskab til elevernes kendskab samt en klasse samtale. Her kan med fordel og trækkes på Videnspakker (Liping Ma), der kan bruges til at skabe et overblik af matematiske helheder, som for at hjælpe eleverne deles i mindre delområder eller kerneområder. Først når eleven forstår kerneområderne, er der grobund for at rette mod nye områder (Fokuspunkter i FFM?).

·         Analyse af indhold dvs.

o   Indholdet i begrebet

o   Hvordan begrebet kan repræsenteres

o   Hvordan det relaterer sig til andre begreber

o   Hvilke sammenhænge, situationer eller problemstillinger, der kan give mening til begrebet

o   Muligheder for anvendelse (modellering).

·         Analyse af læreproces beskriv hvad jeg tror eleverne vil have problemer med.

·         Analyse af undervisning beskriv aktiviteterne som eleverne skal arbejde med.

·         Planlægning af aktiviteter ud fra de ovenstående punkter vælges aktiviteter.

·         Analyse af udbyttet af undervisningen en evaluering af elevens status ud fra forløbet, dette kan give udgangspunkt til en ny didaktisk analyse

Oplæg9

Lav Årsplan for 7.kl - med få fokuspunkter og matematiske kompetencer

Planlæg et undervisningsforløb - en dobbeltlektion

Tal, Algebra og Funktioner, Grundbogen, kap.6 RME

Kap.6

Grundsynet på brøker i RME

RME følger 5 indgangsvinkler;

1.       Virkeligheden er både kilde til begrebsdannelsen og felt for anvendelser

2.       Eleverne skal gives lejlighed til aktivt at bidrage til deres egen læreproces; de spiller rollen som konstruktører.

3.       Opmærksomheden rettes især mod produktion af symboler, diagrammer og visuelle modeller.

4.       De røde tråde i stoffet skal væves sammen: fx skal grundopfattelserne ”lagkagebrøk”, division og proportion tænkes sammen.

5.       Læreprocessen er interaktiv: diskussioner, forhandling og samarbejde er væsentlige i den kollektive læreproces (Streetfland, 1991, s.21 ff.)

Øvelse1

5 elever skal dele 8 pizzaer, hvordan gøres det ligeligt?

Ved at bruge den Freudenthals uformelle fremgangsmåde vil metoderne tage udgangspunkt i deres erfaringsverden og dele fx 5 af de 8 pizzaer med en til hver.

Der vil være 3 pizzaer tilbage som skal deles, hvordan kan dette gøres?

Ved fællessnak med skuldermakker vil eleven måske få en forståelse for, at der kan være flere forskellige metoder til at dele pizzaerne.

Læreren kan udfordre eleven med spørgsmål; 

hvis der er en pizza, hvor mange stykke skal pizzaen deles i for at alle 5 får et lige stort stykke?

hvis der er to pizzaer, hvor mange dele skal pizzaerne så deles i?

hvad hvis der var 5 pizzaer, hvor meget får hver så?

Læreren kan også udfordre eleven ved at sige;

de 8 pizzaer har forskelligt fyld og alle 5 vil have noget fra hver pizza. Hvordan kan det gøres? Eleven bevæger sig altså over i en præformel forståelse for, at der er tale om noget, der kan være dele af en helhed.

RME indføre begrebet heltalsdistraktorer om de læringsvanskeligheder, der ofte opstår, når eleven skal lære at overføre forståelser og færdigheder fra praktisk uformel og præformel til den formelle operation.

Fx ”Når man dividerer, bliver det mindre”. Korrekt for naturlige tal (minus 1), men når 3: ½ = 6, så passer det ikke. Den er en heltalsdistraktor.

RME beskriver i kapitlet, hvordan eleven udfordres i at tænke praktisk og derved egentlig tilegne sig både en viden om brøker og forholdsregning fx en halv lagkage, og ikke i symboler ½, før eleven har en klar forståelse af den uformelle og præformelle kontekst.

For at kunne beskrive elevens udvikling via RME metodik har Streefland nogle pejlepunkter:

ü  Modstandskraft over for heltalsdistraktorer. Dvs. at eleven på laveste niveau vil ikke bide mærke i at der kan være en konflikt i en metode giver fx ½ +1/3 = 2/5 og en anden ½ + 1/3 = 5/6. På højeste niveau vil eleven reagerer (give modstand) på de forskellige resultater.

ü  Progression i brugen af skematisering. På laveste niveau har eleven brug for en konkrete lagkage situation. På højeste niveau bruger eleven ren symbolik.

Streefland kunne udlede, at for at eleven kan opnå bedre forståelse, skal der især arbejdes på at få det konkrete niveau til at hænge bedre sammen med skematiseringsniveauet (ibid., s.249 f.).

Øvelse2

Undersøgelse1

Mål: Omskriv blandede tal til brøker

Lærerens arbejdskort:

Vi tager udgangspunkt i lette brøkdele

Spg1 Hvor mange halve kan vi få af en hel?

Spg2 Hvor mange halve skal der til for at få 2 hele?

Spg3 Hvor mange halve skal der være for at få 2½?

Spg4 Hvordan kan du lave 3 ens figurer ud fra 10 ens cuisenaire? Og hvad er der i overskud?

Spg5 Vis  2/5  med cuisenaire?

Forløbet her går i spænd med RME da det tager udgangspunkt i en visualisering, hvor eleven gradvis får en forståelse for, hvordan enheder kan deles i mindre enheder, og hvordan enhederne kan samles i helheder.

En anden måde at bearbejde forståelsen kunne være at bruge en app som fx  geoboard, hvor eleven kan arbejde med problematikken i forhold til sømbrætte. Eller forholdet mellem helheden og dele af... fx. ved at bruge cuisenaire kan dette bearbejdes alt efter hvilken farve/størrelse jeg tager som udgangspunkt fx hvis jeg tager den, der er 8(cm), så kan jeg stille eleven spørgsmålet, hvilken er halv størrelse? Og igen hvilken er halv størrelse af denne? Herved får eleven en forståelse af forholdet mellem størrelser som kan omsættes til mere præformel matematisering.

Håndbog om matematik i grundskolen Kap.4

Håndbog om matematik i grundskolen

Michael Wahl Andersen m.fl, Dansk psykologisk forlag

Kap.4

Vurderinger og evalueringer i relation til læring og undervisning i matematik

To processer anvendes for (s.49, øv.), hvordan man finder ud af, hvad eleven får ud af undervisningen. Assesment, en vurdering af hvilket udbytte, viden, kunnen og holdninger eleven opnår. Og Evaluering der forstås som en bestemt målsætning ud fra et bestemt værdigrundlag.

Evaluering anskues (Allerup, 2011) i forhold til:

Den intenderede (planlagte) læseplan

Den implementerede (gennemførte) læseplan

Den præsterede læseplan (the outcome)

Realistisk matematikundervisning i Holland

Van den Hauvel-Panhuizen´ afhandling sætter i matematik fokus på en anden vinkel: Udgangspunktet er kort formulerede problemstillinger, hvor eleven skriver, hvad denne tænker på i forsøg på at løse problemet.

Denne udvikling af faget i Holland kaldes for ”den realistisk matematikundervisning” Begrebet opdeles i to dimensioner.

1.dimension ”horisontal matematisering” hvor matematikken skaber sammenhæng og løser problemer, som eleven får kendskab til i og uden for skolen. Her udvikles en kobling begge veje mellem dagligdags sproget og det matematiske symbolsprog. Og eleven øves her i at kunne opstille matematiske modeller i rette kontekst.

2.dimension ”vertikal matematisering” eleven skal kunne ”kommunikerer” vha. matematisk symbol sprog.

Problemet med evalueringer og assessments er, at det er svært at skabe et system med nødvendig validitet. 

Van den Hauvel-Panhuizen peger på nogle fokuspunkter til at kvalificere ”den realistisk matematikundervisning”      

•        Observation af eleven, for at se hvor eleven afstikker i læringsprocessen.
• ·         Assessment og evaluering skal være integreret i us.
• ·         Der skal ikke kun være fokus på faglige præstationer men også forestilling eleven har fået i        eller uden for skolen, da det betyder noget for eleven tilgang til us.
• ·         Hvis målet er matematiseringsformåen skal opg være af en art, så eleven kan beskrive,              hvad denne gør.
• ·         Anvendte opgaver i assessment og evaluering skal være autentiske for eleven.

Van den Hauvel-Panhuizen fremhæver, at det er vigtigt, at læreren lære at observere og herudfra har en samtale med eleven. Elevens produktion af egen matematikbog/logbog kan også bruges til vurdering af elevens udvikling. Bogen vil fx kunne indehold elevens strategier om mellemregninger og hovedregning og dermed hjælpe lærere med at guide eleven videre.

Formålet med assessment og evaluering er primært didaktisk i form af indsigt i elevens evne til at matematisere ægte problemstillinger

PRIM-projektet i Sverige

PRIM-projektet udarbejdes i 1990´erne. Her fremhæves 4 kundskabsniveauer (de fire F´er), der skal ses i en sammenhæng;

·         Faktakundskaber - kan til dels vurderes kvantitativt, da det drejer sig om at husk og gengive.

·         Forståelseskundskaber - er kvalitativt, dvs. forståelsen vises i sproget (Wittgenstein)

·         Færdighedskundskaber - eleven ved hvordan et problem skal løses.

·         Fortrolighedskundskaber - når eleven matematisere også uden for kontekst.

Disse er let omskrevet med i Fælles Mål 2009.

KIM-projektet i Norge

Projektet udkom i 1995, hvor formålet var at udvikle både prøvemateriale og andet støttemateriale til lærere. Brekke & Rosen anvender ”diagnostisk undervisning”, hvor de peger på, at det er bedre at arbejde grundigt med få velvalgte opgaver end at lave mange rutineopgaver - i al fald hvis man vil udvikle elevens matematiske begreber.

Disse få velvalgte opgaver skal stilles i en kontekst, der giver eleven mulighed for refleksion og for samtale for at herved at kunne udfordre elevens tænkning.

Følgende faser har fokus i diagnostisk undervisning;

• ·         Kortlægning af ukorrekte opfattelser hos eleven
• ·         Planlægning af undervisningen således, at eleven forstår den ukorrekte opfattelse.                    Dette kaldes at skabe en kognitiv konflikt.
• ·         Løsning af den kognitive konflikt sker via refleksion og samtale
• ·         Anvende nye eller udvidede begreber i forskellige sammenhæng.

Grundlaget for disse kompetencer går ud fra følgende;

·         Faktakundskaber - informationer fx definitioner

·         Færdigheder - automatiserede procederer for brug af matematikken

·         Begrebsstrukturer - at eleven kender problemløsningsstrategier og kan anvende disse.

Assessment Standards for School Mathematics i USA

Grundlaget for undervisningen er, at alle elever kan lære matematik, og udbyttet kan vurderes og evalueres, for at fremme elevens videre muligheder for at tilegne sig matematisk viden og kunnen.

·         Arbejdet og udbyttet er integreret i undervisningen

·         Det skal ske med anvendelse af mangfoldige informationskilder

·         Validiteten skal være troværdig

·         Vurderingsredskab og mål skal have sammenhæng

·         Alle aspekter af den matematiske viden og kunnen skal vurderes og evalueres.

Kernen er at formindske udenadslæren og reproduktion. Plus læreren skal være spørgende og lyttende for at støtte den enkelte elev.

Som støtte til læreren har NCTM opstillet en model for assessment;

Til de 4 faser er der lavet understøttende spørgsmål til hjælp til læreren.

Arbejdskortbog C4. Fra brøk til decimal.

Tal, Algebra og Funktioner. Grundbogen kap.5. De positive rationale tal

Kap.5

Matematikkens naturer v.Povl Hansen m.fl.

Matematik

v. Povl Hansen m.fl.

Matematikkens naturer

Mogens Niss beskriver i bogen ”Matematikken og Verden” som matematik havende 5 forskellige naturer.

Den 1. natur - den videnskabelige matematik er en matematik af absolut sandhed, der beskæftiger sig med aksiomer. Aksiom defineres som en grundantagelse, der antages at være sand og som ligger til grund for et større system af sætninger. Fx Aksiom nr4: Enhedskvadratet har arealet 1. Sætning: arealet af et rektangel er lig med længde gange bredde.

Videnskabsfaget matematik ligger, som en paraply over de fleste natur- og tekniske videnskaber, hvor matematikken benyttes til at beskrive og modellere sammenhænge (den 2. natur).

I 4. natur -Undervisningsfaget matematik tager Basil Bernstein (Bernstein 2001:188f) udgangspunkt i den proces, han kalder rekontekstualisering. Et begreb, der kan beskrive forholdet mellem skolefaget matematik og den matematik ”uden for” faget og skolen, som faget egentlig reproducerer og bearbejder.

Lærermidlerne tager derfor oftere udgangspunkt i 3.natur. I nutiden leder udviklingen mod en tænkning i kompetencer - KOM. Hvor KOM definerer en kompetence som ”en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer” Nu fokuseres også på fagliglæsning og kommunikationskompetencer. Der er derfor sket en drejning i matematikken, således at vægten ligger mere på det forståelsesmæssige og ikke træningsbestemte.