Delta kap.10 Matematiske didaktiske skoler især RME

 kap.10

I kapitlet arbejder bogen med forskellige matematisk didaktiske skoler. Først kort om Cobbs og emergerende perspektiv og så om den franske skole med Guy Brousseaus og Realistic Mathematics Education (RME) den hollandske skole med Hans Freudenthal.

Fokus og den viden jeg skal have opsamlet efter læsning af kapitlet er især omkring RME herunder;

·         Forståelse af centrale begreber omkring RME

·         Forståelse af hvordan RME udskiller sig fra andre tilgange til mat.us.

·         Kan benytte RMEs begreber som analytisk værktøj i relation til bøger og praktisk undervisning.

Begrebet Radikal konstruktivisme (RK) bruges ofte i Delta, derfor genopfrisker jeg begrebet kort her igen. RK er også beskrevet i Delta kap.2 (Delta s.70)

Teorien bygger på to grundlæggende principper som især Ernst von Glasersfeld har været fortaler for:

• ·         Viden modtages ikke passivt, men opbygges aktivt af det enkelte individ.
• 
  
• ·         Erkendelse er ikke et spørgsmål om at opdage en objektivt eksisterende verden, men om at organisere ens erfaring (ibid., s.18)

I RK benyttes også Piaget, der igen henviser til biologien. 

Piaget beskriver to udviklingsmuligheder; 

1. Assimilation, der er en udvikling der svarer til organismens indbyggede genetiske forudsætninger. Mens nr.2 Akkommodation er en ændring af udviklingsmønstret som reaktion på de betingelser, som nye omgivelser sætter.

Det er altså i en biologiske forstand tale om tilpasning.

Læreren bør arbejde på metakognitive skift (Paul Cobb) dvs. fokus på elevens arbejde bør ligge i dennes kommunikationen/overvejelser om, der kan være andre måder at arbejde med et matematisk problem og om kan der være andre svar.

Cobbs arbejder med begrebet emergerende perspektiv ud fra RK tankegangen. Han mener at konstruktivismen også må medtænke de interaktioner, der foregår i undervisningen - både mellem elever/lærer og elever/elever. Og ikke nok med det, også elevens sociale normer må med ind for at forstå, hvordan læringen sker.

RME

E står for education (undervisning). Men E står også for matematisk uddannelse.

Central for RME er at matematisering er et indhold i undervisningen, da det er det eleven skal lære: 

at blive bedre til at matematisere. Samtidig er det også en metode. Da måden at lære at matematisere på, er ved at gøre det, med udgangspunkt i en omverden-kontekst. 

For her vil eleven opnå en større grad af forståelse end ved færdigudviklet formel matematik.

R i RME står for at tilgangen til matematiske problemstillinger skal være realistisk for at eleven kan have en form for erfaring og viden om problemet. Men det hollandske ”realiseren” kan også betyde at indse eller erkende.

Freudenthal siger at der er et simpelt svar på spørgsmålet om, hvad eleverne matematisk skal arbejde med: deres egen virkelighed (1991, s.50) Oplægget skal altså præsentere en situation, som eleverne kan forestille sig og se sig selv som en del af.

Oplæg1

Overvej og diskuter om og hvordan eksemplet adskiller sig fra andre der kan bruges til introduktion af division.

En fælles matematisk klasserumspraksis bliver ofte at benytte multipla af 10 som udgangspunkt og skip tælle videre derfra. Altså 6*10 + 6….+….

Freudenthal kalder det for en anti-didaktisk inversion, når eleven lærer med den traditionelle metode i matematik, hvor eleven først lære ”håndværket” fx lære at bruge brøker for så senere at arbejde med brøker i virkelige problemstillinger. Ideen i RME er i stedet at begynde med et problem i noget, der har reel omverdenskarakter for eleven og så lade dem systematiser egne og andres løsninger på problemet.

Efterhånden som eleven udvikler fx talbegreber, får tallene selv nærmest genstandskarakter. Tallene bliver en del af elevens verden, og derved kan de blive udgangspunkt for matematiske undersøgelser på et højere niveau.

Det centrale for Freudenthal er at matematikken er ”fraught with relations”, det skal for de pågældende elever være ladet med relationer til elevens liv.

 Det matematiske i RME

I oplæg1 har eleven ikke fået en matematisk metode til at finde en løsning. Eleven har derfor en problemagtig udfordring, som denne må trække på fra tidligere faglig forståelser og færdigheder. 

Først når eleven (med hjælp) forstår, at systematisere og derfor genkender lignende situationer fremadrettet vil der være opnået en større grad af forståelse end oprindeligt.

Denne systematisering ”skematisering” kaldes i RME for progressiv skematisering. At benytte mulitpla af 10 ovenover er første skridt i den retning.

M´et i RME betyder matematik. 

Her forstået som ovenover beskrevet nemlig en aktiv proces, der er matematisk kontekst-problem-orienteret. 

Det omfatter bl.a.

Ø  At finde ligheder og forskelle på situationer og måder de kan behandles på.

Ø  At generalisere spørgsmål, metoder og løsninger

Ø  At benytte symboler til beskrivelse og manipulation af fænomener

Ø  At udvikle definitioner

Ø  At videreudvikle metoder, så de får algoritmekarakter

Ø  At finde, forstå og forklare mønstre

Ø  At udvikle og bruge formler

Ø  At bevise

Ø  At aksiomatisere

En udvikling af en algoritme ud fra ovenstående bord eksempel kunne se således ud

Oplæg2

Sammenlign denne algoritme med andre, du kender. Hvad ser du som fordele og ulemper ved denne her?

Udviklingen af algoritmer sker fra uformel - tegne borde, over præformel som opsætning i skema herover til formel abstrakt bearbejdelse af en kontekst. Det er kendetegnet ved RMEs tilgang til matematik. 

Når Freudenthal siger, at et er matematiseringen og ikke matematikken eleven skal genopfinde, er det især denne fremadrettet cyklus; uformel-præformel og formel, der tænkes på.

Horisontal og vertikal matematisering

Freudenthal mener det er matematisering når;

Ø  elever i 3.kl systematiserer måder, hvorpå de kan finde det antal borde, der skal bruges til et forældremøde

Ø  når de nogle år senere skal lede efter måder at finde primtal på

Ø  når man i læreruddannelsen kan arbejde med, hvilke tal der kan fås som sum af nogle på hinanden følgende tal.

Fælles er systematisering og ræssonering, selvom det er på forskellige niveauer.

Adrian Treffers mener, at der er brug for bredere anskuelsesvinkler, da han mener, at der er forskel mellem første pkt. med 3.kl, der tager udgangspunkt i omverdenen - Horisontal matematisering, mens videreudviklingen af metoden med mulipla af 10 tager udgangspunkt i matematikverdenen og er derfor en vertikal matematisering. Vertikal matematisering skal her også forstås som et niveau-skift.

Det kan være umuligt at skelne om det er en horisontal eller vertikal matematisering en elev anvender. Freudenthal mener at horisontal matematisering er områder der endnu ikke er sat på matematisk symbolform, mens den vertikale matematisering er et spørgsmål om at videreudvikle noget der allerede er på matematisk symbolsk form.

Oplæg3

Overvej og diskuter, hvilke matematiseringsformer der med Freudenthals terminologi er på tale, når eleven skal finde summen af 8+8+8----(12 addender) og siger: Ti ottere er 80, og så er det 88 og 96

Oplæg4

Diskuter hvad der er forskelle og ligheder mellem Freudenthals definition af horisontal og vertikal matematisering og den bogens forfattere foreslå s.396

Oplæg5

Oplæg6

Konteksten, stofdidaktikken og de faglige produkter

Hos RME er det vigtigt at eleven lære at tolke kontekst og at de derved kan sætte det i sammenhæng med et resultat. Fx er der forskel på følgende resultater A 81 forældre skal sidde ved borde med seks ved hvert. Hvor mange borde er der brug for? B. Et reb på 81 m skal deles i 6 dele. Hvor lang bliver hver del?

Undervisning og uddannelse i RME

 “The best way to learn an activity is to perform it” (Freudenthal 1973, s.110)

Hermed mener han, at det er vigtigt at eleven er aktiv I matematiserings-processen med læreren i rollen som introdukator til vertikal matematisering. Undervisningen skal altså skabe mulighed for matematisering af elevens læring.

Guided reinvention

Lærerens vigtigste opgave er at støtte eleven i guided reinvention (guidet genopfindelse) af den formelle matematik gennem processen fra uformel, præformel til formel matematisering med rette vertikal matematisering, således at eleven opnår færdigheder og forståelser, der er i overensstemmelser med fagets standarder.

Treffers (1991, s.24 ff) har nævnt 5 punkter til guided reinvention der bør indgå i lærerens overvejelser;

1.       at vælge udgangspunkter, der - for de pågældende elever - er så konkrete, at de har omverdenskarakter.

2.       at støtte overgangen fra uformelle og kontekstafhængige løsninger til præformelle og sluttelig formelle løsningsmetoder og begreber. Hertil siger Treffers at det er nødvendigt for elevens læring at denne reflekterer over egne og andres løsningsforslag, og at læreren er opmærksom på elevens uformelle tilgang og løsning for at kunne bruge det som udgang til vertikal matematisering.

3.       at eleven stilles over for oplæg, der fordrer refleksion over egne og andres metoder og som provokerer til at tænke fremad.

For at få eleven til at tænke nyt foreslår Treffers to metoder. Den første hos RME kaldes free productions, dvs. problemer og spørgsmål som eleven selv formulerer fx kom med ex på nem og svær division, vis to forskellige løsningsmåder og forklar hvad der gør dem svære eller lette. Den anden kaldes klumpet oversat for konfliktproblemer fx to divisoren har begge resultatet 31 rest 12. er de to divisioner nødvendigvis ens?(? Resultatet der fremkommer med divisoren 36 vil være 31 1/3, mens hvis divisoren er 24 er resultatet 31½.??)

4.       at der gives mulighed for social interaktion mellem elever, for at de får mulighed for at diskutere, udfordre og videreudvikle hinandens forslag og free productions.

5.       at eleven får mulighed for at opbygge forståelse af sammenhængende vidensstrukturer dvs. at faget og dets ikke matematiske anvendelser ikke skal ses adskilte - eleven skal ikke først mekanisk lære at dividere for så at sætte det i en rigtig kontekst. Der skal aktivt sammentænkes mellem horisontal og vertikal matematisering.

Oplæg10

Hvilket typer spørgsmål kan jeg stille for at fremme RME undervisningen?

Det grundlæggende formål med RME (realistisk matematik) er, at matematik kan relateres til konteksten. RME undervisning er stærkt procesorienteret. Der er et problem der skal løses systematisk modsat traditionel undervisning, hvor læreren første præsenterer en metode og derefter håber, at forståelsen og problemløsningen følger.

Følgende eksempel tager derfor afsæt i en kontekst, der er realistisk for eleven samtidig med at læreren har øje for systematikken i procestilgangen. Herved skaber læreren en fremadrette proces.

Jeg kan stille spørgsmål, som fx 5 personer skal dele 1 pizza. Hvor mange stykker skal pizzaen deles i, når I skal have lige meget? 

For at fremme RME vil næste spørgsmål lyde; hvis der er 2 pizzaer, hvordan kan de så deles? Samme spørgsmål stilles også med 3 og 4 pizzaer.

 Alt efter hvor jeg er i undervisningen så kan jeg arbejde videre med 5, 6 og 7 pizzaer, hvor jeg arbejder med heltal og brøk.

Når eleven har en forståelse for brøker, så kan jeg stille spørgsmål som, hvad hvis der af 8 pizzaer er en vegetarpizza og Muhammed er muslim, hvordan skal pizzaerne så deles?

Eller hvad hvis der skal være mulighed for at prøvesmage alle pizzaer, som er forskellige?

Guided discovery (guided opdagelse) er et begreb, der benyttes pædagogisk især omkring matematiske materialer. Misforståelsen her er, at Guided discovery fremstilles som om at ved at benytte disse materialer, vil eleven opdage matematikken, men fortolkningen bør mere være, at hvis eleven har matematiseringen omkring materialet vil denne kunne se, at materialet vil kunne bruges til at forklare et problem. 

RME qua Freudenthal mener i stedet, at det er læreren der skal lave det pædagogiske tankeeksperiment (1973, s.100 ff.). Ved at læreren tager udgangspunkt i en stofdidaktisk analyse fx hvad er de centrale elementer i division, bør læreren herudfra udvikle et oplæg i kontekster, som eleven kan tage afsæt fra. Her kan læreren bl.a. med støtte i FFM se efter tegn på læring, altså fra den uformelle matematisering over præformelle og til den formelle matematisering.

RME og andre tilgange til matematikundervisning

Treffers siger der er 4 retninger i matematikundervisningen - en empirisk, en mekanisk, en strukturalistisk og en realistisk tilgang. Hans 4 retninger kan bruges til analyseredskab i praktisk undervisning.

Empirisk matematikundervisning fx matematik tak. Der tages udgangspunkt i hverdagsmatematik og der arbejdes med horisontal matematisering. Der arbejdes dog ikke i uformel, præformel til formel matematisering.

Mekanisk matematikundervisning har fokus på proceduremæssige færdigheder. At lære de rigtige algoritmer.

Strukturalistisk matematikundervisning har fokus på standardiserede faglige forståelser og metoder. Der arbejdes med, at eleven kan overføre forståelser og metoder på et stadigt mere komplekst niveau - altså en vertikal matematisering, men ofte uden en horisontal matematisering altså med udgangspunkt i elevens omverden.

RME matematikundervisning

Oplæg11

Oplæg12

Delta kap.9 Evaluering af matematikundervisningen

Kap.9

Evaluering i matematikundervisning

Evaluering skal forståes bredt om enhver systematisk, faglig vurdering, der har til formå at vurdere eleven. Altså find ud af udbytte af undervisningen i form af faglig udvikling. Fx en test.

En evaluering skal have et uddannelsesmæssigt formål - fremadrettet.

Oplæg1

Standards 2000 betegner evaluering som grundlæggende og en nødvendig fuldintegreret del af undervisningen (NTCM 2000 s.22 ff) og det skal ikke være en separat aktivitet, der betragtes som en afbrydelse af almindelig undervisning.

I Danmark bruges siden 2007 ligesom mange andre lande obligatoriske nationale tests.  Så spørgsmålet er for matematiklæreren, hvordan bruge testene til noget konstruktivt i elevens læreproces.

Forudsætningen for dette er at jeg;

• ·         Kan analysere og diskuter grundlæggende intentioner, karakteristika og principper for evaluering
• 
  
• ·         Har et grundigt kendskab til en række forskellige evalueringsformer
• 
  
• ·         Kender til problemer, der er med at evaluere forskellige aspekter af faget, og kan forholde sig til forskellige evalueringsformers styrker og svagheder i den sammenhæng.
• 
  
• ·         Er klar over, hvordan evaluering kan have indflydelse på hvad der opfattes som vigtigt i undervisningen.

Et historisk tilbageblik

I 1500-tallet er der ifølge Kilpatrick eksempler på ønsket om at vurdere elevers intellektuelle styrke og karakter, men først i start 1900-tallet (Binet-Simon test) speede udviklingen op.

Thorndike udviklede test fra 1908-1916 - Thorndike anses også som grundlægger af behaviorismen i USA. Samtidig anså man i USA at enhver skulle hurtigst muligt testes for at finde frem til medfødte muligheder (Shepard 2000, s.4).

For at undervisningen skulle være mest effektiv indførtes faste læseplaner og lærebøger, der skulle følges præcist og omhyggeligt af læreren og undervisningens resultater skulle kontrolleres med tests. Tanken var ifølge Shepard at læring sker gennem akkumulering af små dele viden -den er opbygget i en hierarkisk rækkefølge - ofte testning for at sikre at stoffet kunnes - motivation kommer udefra i form af positiv feedback.

Oplæg3

Evalueringens formål, karakteristika og pejlepunkter

To grunde til evaluering;

1.       Summativ evaluering. Dokumentation af elevens formåen på et givent tidspunkt (produktkontrol) fx færdighedsprøven eller prøve som afslutning af et undervisningsforløb.

2.       Formativ evaluering. Evaluering for at kunne planlægge fremadrettet ud fra elevens aktuelle kunnen og forståelse. Evalueringen er en interaktiv proces der skal give læreren indsigt i elevens læreproces til bedre at kunne tilpasse undervisningen, så den imødekommer elevens behov (Wiliam 2007, s.1054).

Ofte vil det ved formativ evaluering ske i form af;

·         Samtaler med eleven om forståelse af fx gange med udgangspunkt i nogle opgaver

·         Skriftlige kommentarer til et projekt

·         Klassediskussion af en præsentation i klassen af fx en elev undersøgelse med målinger

To andre forhold jeg bør tage. 

For det første evaluerer jeg nu også det jeg gerne vil evaluere? 

Er målet at en elev kan producere korrekte svar (Høj validitet). Eller vil jeg evaluere forståelsen af hvordan et matematisk fokuspunkt kan anvendes? 

For det andet bør jeg overveje om eleven vil få samme bedømmelse, hvis det fx var en anden lærer der foretog testen? Eller eleven tog testen en anden dag? En evaluering der ikke er påvirket af tilfældige forhold kaldes for reliabel.

Oplæg4

Principper for formativ evaluering

Evalueringsforsker David Clarke siger at evaluering fra min side bør omfatte indsamling af viden, fortolke, drage konklusioner og handle herudfra. For eleven er evaluering en chance for at vis hvad denne har lært.

Clarke har udformet (1997) 5 principper til en konstruktiv evaluering;

• ·         Repræsentere undervisningens mål og værdier,
• ·         Være en udveksling af information,
• ·         Optimere elevernes muligheder for at vise, hvad de har lært, 
•        Have undervisningsmæssig værdi,
• ·         Informere kommende tiltag i undervisningen.

Standards 2000 har også tanker om evalueringens formål;

• ·         Den skal reflektere det eleven bør kende til og kunne arbejde med
• ·         Fremme læringen
• ·         Bidrage til lighed ved at eleven kan vise hvad denne kan og hvad denne ikke kan og jeg kan hjælpe den dårlige elev videre
• ·         Være en åben proces, så elever og andre ved, hvad der skal evalueres og hvordan
• ·         Fremme gyldige konklusioner vedr. elevernes læring????
• ·         Være en proces der hænger sammen med det, der anses for vigtigt og de måder, der er undervist på ???

Lange(1993, s.199) fremhæver disse evaluerings mål;

• ·         Evaluering skal være en integreret del af læreprocessen
• ·         Den skal give mulighed for eleven at vise hvad de kan og ikke hvad de ikke kan.
• ·         Evaluering skal kunne måle alle mål????
• ·         Formen skal ikke dikteres af muligheder for objektiv scoring???
• ·         Evalueringen skal være praktisk så den kan passe ind i skolens hverdag???

Oplæg5

Evalueringens indhold og kompleksitet

Diskussioner om mål og indhold i forhold til evaluering er kompleks, for hvad ønsker man at måle? Er det elevens færdighedsbeherskelse, begrebsforståelse eller beherskelse og forståelse af faglige processer fx kompetencer? Det er fx svært at evaluerer, hvad en elev har forstået om en regningsart.

Endnu sværere bliver det med kompetencer, der har elementer af færdighed og forståelse i sig. Men også at eleven kan stille spørgsmål, ræsonnere, problemløse eller modellere. Her må jeg fortolke, da det ikke på samme måde som ved færdighedsregningen kan være reliabel.

Oplæg6

Dybest set er evaluering komplekst og desto mere kompliceret viden der skal evalueres, desto sværere bliver det og mere meningsløst at sætte et præcist mål på det fortolkede resultat,

Evalueringens effekter

Backwash-effekten af evaluering afspejles i 3 sammenhængende dele. 

1. hvad er væsentligt i matematikundervisningen. 2. en god feedback til eleven må give en læring hos eleven. 3. elevens selvopfattelse formes, især hvis der gives karakter (Wiliam m.fl. 2004, s.50).

Backwash og synet på matematik

Flere undersøgelser viser, at alt efter hvad der testes i til prøverne, så vil læreren og eleverne anse disse dele for det vigtigste at lære i undervisningen. Altså en positiv bachwash effekt inden for disse matematiske kompetencer.

Bachwash og elevernes umiddelbare udbytte

Wiliam refererer til undersøgelser over værdien af læreren feedback til eleverne. Udkommet af feedback er for mig noget overraskende……

Wiliam refererer også at ros ikke nødvendigvis fremmer læreprocessen. Den bedste feedback fås, når den har fokus på, hvad der er nødvendigt at gøre for at opnå fremgang. Vigtigt at eleverne får at vide, hvad de skal gøre og ikke, hvordan de har klaret sig (ibid., s1085).  Clarke fremføre også, at et enkelt tal ikke kan fange kompleksiteten i det en elev kan.

Oplæg7

Oplæg8

Nationale tests og mulig anvendelse i fremadrettet henseende

Oplæg9

Evalueringsformer

Oplæg10

Ovenover forskellige eksempler på evalueringsformer. 

Og herunder nogle spørgsmål om, hvad jeg bør overveje før en evaluering.

Oplæg11

Minutevaluering 

(Mogensen 2002, s.14) er en simpelt hurtig evalueringsform på 2 spørgsmål, der udfyldes sidst i timen. 1. hvad var det vigtigste jeg lærte? 2. Hvad er jeg stadig i tvivl om? I starten af timen noteres, hvad er målet for undervisningstimen.

Absolut kerne i selvevalueringer er at placerer ansvaret hos eleven.

Det er svært for elever at lave selvevaluering, da det kræver en meta-kognitiv indsigt, men Wiliam beskriver, at efterhånden vil selv- og kammeratevaluering medføre, at eleven udvikler kriterier for at vurdere kvaliteten af arbejder. Desuden bliver elever bedre til at arbejde sammen (Ibid., s.83).

Gruppe- og par-evaluering

Ideen er at det er eleverne der skal være aktive i processen.

Traffic light metoden (Wiliam 2001) Efter en fremlæggelse gives feedback i form af - grøn, for forklaring over ens eget niveau, - gul gives for forklaring på ens eget niveau, og - rød gives for en forklaring under ens eget niveau.

Oplæg12

At ændre oplægget eller bede eleverne producere dem selv

Heuvel-Panhuizen (1994) beskriver at den formative evaluering kan blive bedre ved at inddrage ikke-matematiske kontekster. Herved fremmer det eleven til at tænke i flere ukonventionelle løsningsstrategier, dels gøres det mere tilgængelig for eleven.

Oplæg13

Oplæg14

En anden vinkel er at lade eleverne selv konstruere opgaver fra bunden. Fx i forbindelse med procenter: konstruer en nem og en svær opgave om procenter og løs dem begge. Forklar hvorfor de var nemme og svære.

Oplæg15

Fri skriftlig besvarelse med tegning, ord og symboler

Inspireret af Heuvel-Panhuizen og PRIM fra Sverige evalueret ved at eleven får én opgave på et stykke A4, således at der er plads til både tegninger, og og/eller matematiske symboler. Herudfra kan læren danne sig et overblik i klassen, hvilke elever der især kræver fokus.

Oplæg16

Brev til oldemor

En evalueringsmetode der består i at skrive et brev til oldemor, om det de har lært i klassen for nylig.

Registrering af observationer i klassen

Ved at lave en systematisk registrering vil læreren kunne opnå en opkvalificering og derved en større indsigt i elevens kunnen end ved kun at basere sine betragtninger på klassesamtaler, dialog og samvær i klassen.

Oplæg17

Dialoger og klassesamtaler

Sfard fremhæver at det er vanskeligt at indgå i en dialog med en elev, uden at denne bliver mere optaget af dialogen end af det indhold, som eleven skal lære om.

Oplæg18

Oplæg19

Hvad er den grundlæggende forskel på summativ og formativ evaluering?

Oplæg20

Beskriv meningen med ordene validitet og reliabilitet i relation til evaluering.

Oplæg21

Lav en plan….. ja tak

Delta kap.8, Målsætning og planlægning

Delta kap.8 

Målsætning og planlægning

Skolen har både en sorterings- og en opbevaringsfunktion. Væsentligst er dog at holde skole for at uddanne. Altså det samfundet ønsker at opdrage og uddanne børn til at blive en del af. Heraf indgår også en socialiseringsfaktor, nemlig at blive opdraget til demokrati og medbestemmelse.

Det er dog fagene, der er den organisatoriske enhed, der dominerer i skolen. For læreren gælder det om at omsætte fagmål til læringsmål i dagligdagen via årsplaner og planlægge korte sekvenser.

I kapitlet gennemgåes:

Ø  Hvordan formuleres en årsplan ud fra skriftende læreplaner og forskellige lærebøger?

Ø  Hvordan medtænkes matematiske kompetencer?

Ø  Hvordan sikres at både produkter og processer afspejles i planlægning?

Faglige fokuspunkter

Hvis de overordnede indholdsområder bliver for uklare, kommer der til at mangle ledetråde i undervisningen. Fx hvilke opgaver skal vælges eller fravælges?

Læreren kommer til at mangle mål for observationer af elevens arbejde og dermed manglende mulighed for at lave en fremadrettet evaluering.

I 2006 udgav NCTM(s.290) rapporten CFP (s.290) der er en beskrivelse af problematikken omkring manglende fokuspunkter.

Med fokuspunkter menes en sammenhængende klynge af viden, færdighed og begreber. Disse klynger er nødvendige forudsætninger for eleven i den læreproces, der skal finde sted og for fremtidig matematikundervisning.

På hvert klassetrin fokuseres der på et antal væsentlige begreber og færdigheder, der kan fungere som et skelet for udformningen af en årsplan. Eleverne opnår derved en omfattende erfaring med kernebegreber og færdigheder, der går det muligt også at kunne generalisere metoder og resultater (CFP 2006 s.5).

Fokuspunkterne peger både fremad og tilbage i forhold til elevens øvrige arbejde, og de kan tjene som organisations- og planlægningsenheder for undervisningen.

Fokuspunkterne sammentænkes med vægtning på de fem processtandarder (Standards 2002), som er problemløsning, ræsonnement og bevis, kommunikation, forbindelser og sammenhænge samt repræsentation.

I CFP identificeres tre faglige fokuspunkter på hvert klassetrin og sammen med undervisning i Standard Processes tankegang vil dette give en basis for elevens fortsatte faglige udvikling.

Fokuspunkter i 7.kl. - ud fra FFM

Algebra

Geometri og måling

Deskriptiv statistik, tal og regningsarter samt algebra

CFP fremhæver at det ikke kun er fokuspunkterne der er undervisningen, men at der også lægges vægt på faglige processer. I dansk sammenhæng tænkes her KOM-rapporten (Kompetencer og matematiklæring. Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen i Danmark. Niss & Jensen, 2002. s.238) KOM sætte pensumnititis som en faktor, der reducerer fagligheden.

Kompetence betyder hos KOM, at en elev er i stand til at begå sig med gennemslagskraft, overblik, sikkerhed og dømmekraft inden for et område (KOM 2002. s.43). 

Kompetencerne betyder at eleven skal kunne spørge og svare i, med og om matematik og kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber.

Delta s.296

At spørge og svare i, med og om matematik

Ø  Tankegangskompetence- at kende spørgsmål- og svarkarakteristika, at kunne skelne mellem def. sætning og bevis og fænomenologiske påstande og enkelttilfælde. Fx Bevisførelse

Ø  Problembehandlingskompetence - at kunne finde på, formulere og løse mat-problemer. Fx???

Ø  Modelleringskompetence - at kunne analysere og anvende matematiske problemer uden for matematikkens verden. Fx???

Ø  Ræsonnementskompetence - At kunne forstå og selv udtænke matematiske ideer. Fx

 At kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber

Ø  Repræsentationskompetence - at kunne forstå og anvende matematikkens sagsforhold. Fx symbolske, geometriske, grafiske eller verbale repræsentationer.

Ø  Symbol- og formalismekompetence - af kunne afkode og aktivt benytte og videreudvikle formler.

Ø  Kommunikationskompetence - at kunne sætte sig ind i og fortolke matematik både skriftligt, mundtligt eller visuelt. Fx matematiklogbog.

Ø  Hjælpemiddelskompetence - hensigtsmæssig valg, kendskab til og selvstændigt valg af hjælpemidler.

Oplæg2

Fortolke de otte kompetencer i KOM og find eksempler på god mening af kompetencer.

Oplæg3

Bedøm ud fra 8 eksempler i Delta s.300, hvilke KOM kompetenceområder de dækker.

Oplæg4

Prut

Oplæg5

Prut igen

Kompetencer og fokuspunkter

Det er sjældent mulig at have alle otte kompetencer med i et enkelt undervisningsforløb.

Når der vælges et fokuspunkt er det ikke meningen at eleven skal terpe uendelige mange stykker at denne færdighed, men at eleven får mulighed for at udvikle en større forståelse for denne matematiske kompetence. Derfor skal læreren være opmærksom på, hvilke undervisningsaktiviteter der vælges og hvordan eleven skal arbejde med disse - dvs planlægning er alfa og omega.

Oplæg6

Oplæg7

Planlægning af undervisning

I planlægningsfasen reflektere jeg inden undervisningen i matematiske facilitering dvs. en undervisningspraksis der er rettet mod elevernes tilegnelse af fagligt indhold og deres deltagelse i faglige fællesskaber.

Didaktisk analyse

Pedro Gomez (2002, s.286) mener at bedste planlægning er korte undervisningsforløb (1-8 timer), da det giver lavere risiko for en opremsning af overordnet indhold. Altså fokus på få punkter. Gomez arbejder ud fra en didaktisk analyse som en cyklisk proces.

·         Mål og indhold - målet præciseres ud fra FFM

·         Forforståelse mit kendskab til elevernes kendskab samt en klasse samtale. Her kan med fordel og trækkes på Videnspakker (Liping Ma), der kan bruges til at skabe et overblik af matematiske helheder, som for at hjælpe eleverne deles i mindre delområder eller kerneområder. Først når eleven forstår kerneområderne, er der grobund for at rette mod nye områder (Fokuspunkter i FFM?).

·         Analyse af indhold dvs.

o   Indholdet i begrebet

o   Hvordan begrebet kan repræsenteres

o   Hvordan det relaterer sig til andre begreber

o   Hvilke sammenhænge, situationer eller problemstillinger, der kan give mening til begrebet

o   Muligheder for anvendelse (modellering).

·         Analyse af læreproces beskriv hvad jeg tror eleverne vil have problemer med.

·         Analyse af undervisning beskriv aktiviteterne som eleverne skal arbejde med.

·         Planlægning af aktiviteter ud fra de ovenstående punkter vælges aktiviteter.

·         Analyse af udbyttet af undervisningen en evaluering af elevens status ud fra forløbet, dette kan give udgangspunkt til en ny didaktisk analyse

Oplæg9

Lav Årsplan for 7.kl - med få fokuspunkter og matematiske kompetencer

Planlæg et undervisningsforløb - en dobbeltlektion

Tal, Algebra og Funktioner, Grundbogen, kap.6 RME

Kap.6

Grundsynet på brøker i RME

RME følger 5 indgangsvinkler;

1.       Virkeligheden er både kilde til begrebsdannelsen og felt for anvendelser

2.       Eleverne skal gives lejlighed til aktivt at bidrage til deres egen læreproces; de spiller rollen som konstruktører.

3.       Opmærksomheden rettes især mod produktion af symboler, diagrammer og visuelle modeller.

4.       De røde tråde i stoffet skal væves sammen: fx skal grundopfattelserne ”lagkagebrøk”, division og proportion tænkes sammen.

5.       Læreprocessen er interaktiv: diskussioner, forhandling og samarbejde er væsentlige i den kollektive læreproces (Streetfland, 1991, s.21 ff.)

Øvelse1

5 elever skal dele 8 pizzaer, hvordan gøres det ligeligt?

Ved at bruge den Freudenthals uformelle fremgangsmåde vil metoderne tage udgangspunkt i deres erfaringsverden og dele fx 5 af de 8 pizzaer med en til hver.

Der vil være 3 pizzaer tilbage som skal deles, hvordan kan dette gøres?

Ved fællessnak med skuldermakker vil eleven måske få en forståelse for, at der kan være flere forskellige metoder til at dele pizzaerne.

Læreren kan udfordre eleven med spørgsmål; 

hvis der er en pizza, hvor mange stykke skal pizzaen deles i for at alle 5 får et lige stort stykke?

hvis der er to pizzaer, hvor mange dele skal pizzaerne så deles i?

hvad hvis der var 5 pizzaer, hvor meget får hver så?

Læreren kan også udfordre eleven ved at sige;

de 8 pizzaer har forskelligt fyld og alle 5 vil have noget fra hver pizza. Hvordan kan det gøres? Eleven bevæger sig altså over i en præformel forståelse for, at der er tale om noget, der kan være dele af en helhed.

RME indføre begrebet heltalsdistraktorer om de læringsvanskeligheder, der ofte opstår, når eleven skal lære at overføre forståelser og færdigheder fra praktisk uformel og præformel til den formelle operation.

Fx ”Når man dividerer, bliver det mindre”. Korrekt for naturlige tal (minus 1), men når 3: ½ = 6, så passer det ikke. Den er en heltalsdistraktor.

RME beskriver i kapitlet, hvordan eleven udfordres i at tænke praktisk og derved egentlig tilegne sig både en viden om brøker og forholdsregning fx en halv lagkage, og ikke i symboler ½, før eleven har en klar forståelse af den uformelle og præformelle kontekst.

For at kunne beskrive elevens udvikling via RME metodik har Streefland nogle pejlepunkter:

ü  Modstandskraft over for heltalsdistraktorer. Dvs. at eleven på laveste niveau vil ikke bide mærke i at der kan være en konflikt i en metode giver fx ½ +1/3 = 2/5 og en anden ½ + 1/3 = 5/6. På højeste niveau vil eleven reagerer (give modstand) på de forskellige resultater.

ü  Progression i brugen af skematisering. På laveste niveau har eleven brug for en konkrete lagkage situation. På højeste niveau bruger eleven ren symbolik.

Streefland kunne udlede, at for at eleven kan opnå bedre forståelse, skal der især arbejdes på at få det konkrete niveau til at hænge bedre sammen med skematiseringsniveauet (ibid., s.249 f.).

Øvelse2

Undersøgelse1

Mål: Omskriv blandede tal til brøker

Lærerens arbejdskort:

Vi tager udgangspunkt i lette brøkdele

Spg1 Hvor mange halve kan vi få af en hel?

Spg2 Hvor mange halve skal der til for at få 2 hele?

Spg3 Hvor mange halve skal der være for at få 2½?

Spg4 Hvordan kan du lave 3 ens figurer ud fra 10 ens cuisenaire? Og hvad er der i overskud?

Spg5 Vis  2/5  med cuisenaire?

Forløbet her går i spænd med RME da det tager udgangspunkt i en visualisering, hvor eleven gradvis får en forståelse for, hvordan enheder kan deles i mindre enheder, og hvordan enhederne kan samles i helheder.

En anden måde at bearbejde forståelsen kunne være at bruge en app som fx  geoboard, hvor eleven kan arbejde med problematikken i forhold til sømbrætte. Eller forholdet mellem helheden og dele af... fx. ved at bruge cuisenaire kan dette bearbejdes alt efter hvilken farve/størrelse jeg tager som udgangspunkt fx hvis jeg tager den, der er 8(cm), så kan jeg stille eleven spørgsmålet, hvilken er halv størrelse? Og igen hvilken er halv størrelse af denne? Herved får eleven en forståelse af forholdet mellem størrelser som kan omsættes til mere præformel matematisering.