Tal, Algebra og Funktioner. Grundbogen kap. 3. Tallenes historiske udvikling.

Efter dette kapital har jeg viden om:

• -         Talbegrebets historie frem til ca.1600 og de første regnebøger.
• -         Historisk matematik anvendt i undervisningen
• -         Kendskab til de revolutionære taludvidelser fra de oprindelige naturlige tal.

Tallenes antropologi

Historisk har hånden været udgangspunktet for at tælle fx det persiske ord for hånd, pentcha, og heraf det græske for penta-, som vi kender fra pentagon ”femkant”

Tal:	5	10	100	1000
Navn:	penta	deka	hekto	kilo (chilo)

Regner du tæerne med, har du 20 at tælle med. I danske er alle tierne fra 50 til 90 sprogligt bygget på 20 som grundtal, fx er halvtreds en forkortelse af halvtredsindstyve.

Overvej/diskuter 1

Bør dansk ud fra matematik-pædagogiken arbejde med tal, som de øvrige Skandinaviske sprog? Femti, seksti….

Jeg mener, at det danske talsystems opbygning er en hindring for at børn i at få en nem tilegnelse af talforståelse, mens den logiske opbygning af fx femti vil meget hurtigere kunne læses, dels da det er i læseretningen og ikke mindst forstås som 5 tiere. Selv i 7.kl i Danmark kan elever have svært ved at forstå, hvordan tallene skal stå, når der spørges om opskrivning af fx 4 hundrede, 3 tiere og 3 enere, fordi de nu har lært, at det skal hedde firehundredeogtreogtredive.

Er det muligvis derfor nemmere at opnå grundlæggende talforståelse i andre sprog? 

I og med at eleverne vil opfatte systemet som logisk henholdsvis ulogisk, så må det være klart, at når eleven oplever en dybere forståelse hurtigt af den logiske opbygning af tal, må det skabe det overskud at kunne blive udfordret på nye mere komplekse opgaver. 

Hvorimod at det ulogiske system må medføre længere tid på udenadslære uden nødvendigvis dybere forståelse og dermed også en barriere for tilegnelse af matematiske udfordringer.

Tidlige spor af tal

Tællesystemer opstod i samfund, der begyndte at udvikle sig med handel. Sumererne i Mesopotamien udviklede ca.3000 f.v.t. et tal og skriftsystem samtidigt - kileskriften (figur 2)

Dele af dette system, det "seksagesimale" har grundtal 60. Det overlever stadig i inddelingen af timer i minutter og sekunder.

Udviklingen af kileskrift nåede sit højdepunkt under Hammurapi omkring 1800 f.v.t., hvor nogle af symbolerne nu kunne tolkes som brøkdele. Og dermed kunne ligninger af førstegrad og af anden grad løses.

Figur 3 den typiske kileskrift.

Øvelse1

Jeg vil undervise sumeriske elever ved, at vise ”kilerne” længst mod højre kan tælles op til og med 9 kiler (enernes plads).

Bliver der flere omsættes det til et trin/en kile længere mod venstre (tiernes plads). Denne plads kan rumme op til 5x10. 

Bliver begge pladser fyldt med kiler, omsættes det til et nyt trin/kile nemlig kiler, der svarer til 60´ere. Hvis eleven forstår denne tankegang, er det ikke svært hverken at trække fra eller lægge til.

 Øvelse2

Øvelse3

?

Tal på hieroglyffernes tid

Et par århundrede efter sumererne fandt ægypterne på et titalssystem. Talsystemet er additivt.

Øvelse4

Ægyptisk multiplikationsmetode omsat til vores algorimter også kaldet fordoblings-halveringsmetoden;

16 gange  23

8               46

4               92

2             184

1             368

Hvis der ikke kan halveres præcist sættes en / og rundes ned

/11 gange 14

/5              28

2               56

1              112

Svaret er sidste tal plus tallene ud for /

11 x 14 = 14 + 28 + 112 = 154

Øvelse5

Udregn 8 x 17 og 37 x 51

8  x  17

4      34

2      68

1    136

/37    x     51 18          102 /9           204 4            408 2            816 1          1632

Øvelse6

Ægyptisk regnemetode: 

arealet af et kvadrat har siden 8/9 af cirklens diameter

Find cirkels areal når diameteren er 9 cm =

 9cm x 8/9 =

 72cm/9 = 8cm

Kvadrates areal er l x b =

8cm x 8cm = 64 cm² som svarer til cirklens areal

Kontrol udregning cirklens areal: π x r² = 63,6 cm²

Ægypterne satte værdi for π til 3,16, hvilket i ovenstående udregning vil give resultatet: 63,99

Regnebræt og kugleramme

Romerne brugte i det daglige en form for kugleramme. Den kugleramme med ti kugler på hver tråd fra vores skolesystem stammer dog fra Rusland. Det var en kugleramme Napoleons hære tog med hjem omkring 1812.

Øvelse7

Kuglerammen kan i dag erstattes med pc´programmer, men hvis der ikke er muligheder for at bruge it, så er det en konkret og illustrativ måde at tælle 10´ere. I praksis kan kuglerammen dog erstattes af kastanjer, sten etc.

  

Positionssystemet som grundlag for moderne regning

De gamle systemer havde den ulempe, at der kunne være fortolknings forviklinger. Omkring 250 f.v.t. indføres et tegn for mellemrum - nemlig to kiler på skrå. Dette tegn havde samme funktion som vores tegn for nul, uden dog at det blev brugt aktivt som et nul.
Omkring 600-tallet beskriver en inder ”sunya” dvs. det tomme, der i første omgang noteres som en prik, men med tiden ændreres til en lille cirkel.Araberne tog omkring 800 dette samt de indiske talsymboler fra et til ni med sig. Det var matematikeren al-Khwarizmi (algoritme) der først beskrev det nye positionssystem.Den første kendte forekomst af titalssystemet i Europa er et manuskript ”Codex Vigilanus” fra Spanien år 976.Imidlertid er det takket været Leonardo Pisanos (Fibbonacci) der i 1228 skriver …

”De ni indiske tal er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse ni tal og med tegnet 0….                         kan man skrive ethvert tal, som det skal blive vist senere.”

Værket introducerer arabertallene, som de fejlagtigt kaldes, i Europa.

Øvelse8

?

Grækernes opdagelse af irrationale tal

Grækerne skelnede skarpt mellem tal og størrelser, hvor ifølge Aristoteles (384-322 fvt.) størrelser er ``det, der kan deles i stykker, der igen kan deles uendeligt mange gange'', men tal fremkommer ud fra den udelelige enhed 1, der ikke selv opfattes som et tal. Denne skelnen daterer tilbage til pythagoræerne, der havde doktrinen, at ``alt er tal''.

Pythagoras havde nemlig en ide om at tallene er den skabende kraft bag alting.

”I en retvinklet trekant med de to korte sider a, b og den længste c,                       gælder a² + b² = c² ”

Omkring 430 fvt. stødte de imidlertid på det paradoks, at længden af diagonalen i et enhedskvadrat ikke kan udtrykkes vha. deres tal.(da intet helt tal ganget med sig selv gav 2)

Paradokset fik lov til at spøge i mange år, og der gik lang tid, hvor man ræsonnerede ud fra længder af linjestykker i stedet for egentlige tal.

Grækerne kunne altså godt geometrisk vise alle rationale tal som geometriske størrelser - som linjestykker. 

Fx enheden e har størrelsen ---------- derfor må enheden 3e have 3 størrelser af enheden e. Dette førte til konstruktioner af brøkdele, når dele af enheden e skulle beskrives.

Øvelse9

?

Den langsomme accept af negative tal

Det var kineserne, der først brugte de negative tal i beregninger, men også inderne brugte omkring 2.årh.f.v.t. negative tal.

Araberne, der tog de indiske begreber til sig, ville dog ikke have noget med negative tal at gøre, hvilket gjorde det svært for dem at løse ligninger. 

Fibonacci skrev i 1202 opgaver i sin bog ”Liber Abacci” om negative tal bl.a. til at beskrive gæld. 

Mens munken Luca Pacioli opfandt "dobbelt bogholderi", hvor enhver post skulle indføres to steder med modsat fortegn - de negative tal var her ”trække fra tal”.

Endnu i 1500-tallet kaldes negative tal for ”fiktive tal”(Cardano)

Først omkring år 1700 får den talakse som gærkerne indførte med deres geometriske regning en negativ og positiv halvdel.

Opsamling på kap.3

1)    To episoder fra tallenes historie, som kan bruges til, hvordan jeg tilrettelægger min matematikundervisning - kort beskrevet og hvilken indflydelse den har.

Ud fra FFM skal eleven under tal og algebra/regnestrategier efter 9.kl. kunne udføre sammensatte beregninger med rationale tal og eleven skal have en viden om regningsarternes hierarki.

Her kan underviseren udfordre eleven ved at lade eleven arbejde med fx det ægyptiske hieroglyfsystem og det romerske tællesystem. Systemer der er nogenlunde at gå til men samtidig udfordre nutidig tals opsætning og hierarki - Herved sættes det system, de arbejder med til dagligt i relief, og det giver mulighed for, at få eleverne til at reflektere over vores system med enere, ti´ere og hundrede. 

Det, der gør det sjovt for eleverne, kan også være at de fleste elever kender til pyramiderne - og altså har en ide om, at hieroglyfferne er meget gamle, samt de fleste elever kender til Romerriget via film som Gladiator.

Tal:	1	5	10	50	100	500	1000
Originalt:	I	V	X	L	C	D

Traditionelt:

I

V

X

L

C

D

M

1)    Beskriv forskellige passager fra kapitlet, der er super at fortælle eleverne om.

Der har været mange steder i læsningen, der har været interessant og aha-oplevelser.

Såsom sumerernes system, der måtte udvikles efterhånden, som samfundet blev mere komplekst. En god pædagogisk reference til at eleverne i et komplekst samfund er nød til at kunne arbejde med komplekse problemstillinger. Sumerernes system vil kunne være en slags koder til afkodning for eleverne.

Så er der også den ægyptiske form for multiplikation; fordoblings-halveringsmetoden, der er god at vise eleverne. Igen fordi eleven må eksperimentere med tallene og her kan de efterfølgende nemt tjekke resultatet på traditionelvis. En udmærket øvelse for eleverne at konstruere udfordringsopgaver til hinanden.

Det er selvfølgelig også interessant med vores sprog og koblingen til, hvordan vi har bygget vores danske tal op. 

Vi har spor af et tolvtalssystem, fordi der kommer et brud efter 12, hvor de følgende navne rummer spor af ti. Mens tal mellem 50 og til 99 halvtreds = halvtredsindstyve = 2¹/₂∙20 henfører til grundtallet 20. Dette er også kendt fra fransk fx hedder 87 quatre-vingt sept - 4 x 20 + 7

2)    Overvej hvilken ide der kan være med at nogle matematikbøger præsenterer tidligere talsystemer.

Når matematik i vore dage inddrager ældre tiders algoritmer kan det fra et pædagogisk synspunkt være et mål, at få eleven til at realisere at regnemetoder er kulturbestemt, og dermed kan det også være med til at opmuntre eleven til selv at gå på opdagelse i at finde på andre end de konventionelle regnemetoder - altså at tillægge sig en mere eksperimenterende tankegang.

Tankegange som netop FFM har fokus på fx efter 9.kl kompetencemål: eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik. 

Og under matematiske kompetencer/ræsonnement og tankegange efter 6.kl. - eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde.

Delta kap.2 - Radikal konstruktivisme, mentale skemaer, assimilation, akkommondation, refleksive abstraktioner og antaget fælles forståelser

Radikal konstruktivisme

Gør rede for, hvad der i den radikale konstruktivisme menes med assimilation, akkommodation, mentale skemaer, refleksive abstraktioner og antaget fælles forståelser

Læring ses hos den radikale konstruktivisme, som en dialektisk adaptionsproces, hvor det ydre internaliseres i kognitive strukturer (mentale skemaer). 

Teorien beskriver hvorledes vi mennesker forsøger at tilpasse os vores omverden, gennem en udvikling, konsolidering og ændring af vores kognitive strukturer. 

Adaptionsprocessen (læringsprocessen) betragtes af den radikale konstruktivisme som 2 dimensional, beskrevet ved henholdsvis assimilation og akkommodation.

Mentale skemaer:

Mentale skemaer, kan også udtrykkes som kognitive strukturer  der består af summen af alt det et menneske ved, mener og synes at forstå i forhold til en given situation/fænomen –  med andre ord, vores forforståelse (Delta s. 76). Det er disse mentale strukturer mennesket i første omgang trækker på, når man møder ”livet”. De mentale skemaer bringes i spil i forhold til, hvordan det enkelte menneske vil handle i forhold til en given situation/fænomen.

 Assimilation & akkommodation:

Assimilation beskriver den situation, hvor nye indtryk indarbejdes i allerede eksisterende mentale skemaer, det vil med andre ord sige, at erfaringer og oplevelser fortolkes ud fra og passes ind i gamle og allerede eksisterende mentale skemaer /forståelsesrammer (kognitive strukturer) (Klafki er inde på det samme(Helle)). 

Assimilation er således en konsoliderende funktion. Men nogle indtryk kan imidlertid ikke indpasses i de eksisterende skemaer, og derfor må der oprettes en ny ligevægt – dette kaldes akkommodation. 

Ved akkommodation sker der således en omstrukturering af de mentale skemaer, fordi nye oplevelser og erfaringer ikke kan forstås ud fra de eksisterende kognitive strukturer, hvorfor disse kognitive strukturer må ændres! ( Delta s. 77).

Refleksive abstraktioner:

Deltas beskrivelse af begrebet ”refleksive abstraktioner” synes umiddelbart at kunne forstås som det forhold, at vi mennesker konstant selekterer eller fokuserer på visse kendetegn og udvælger de informationer vi vil være opmærksomme på og dermed også fravælger eller negligerer andre (adfærdspsykologien betinget adfærd?(Helle)) 

Kun de påvirkninger, der vurderes af betydning vil blive bearbejdet, og dermed i sidste ende have en betydning for erkendelsen/læringen/akkommodationen. 

Når drengene i eksemplet i Delta s.85 ikke lærer noget af øvelsen, sker det fordi de ikke får rettet fokus/opmærksomhed mod ”det centrale” i læringssituationen, men i stedet, ensidigt, har fokus på kendetegn, der kan assimileres i eksisterende mentale skemaer/forestillinger.

Det synes derfor vigtigt, at vi som lærer har et kendskab til den enkelte elevs ”forestillinger”/mentale skemaer i forhold til den matematiske disciplin man nu engang beskæftiger sig med, idet det bliver vores fornemste opgave, at strukturere undervisningen og lægge de udfordringer og erfaringer til rette, der kan skabe mentale uligevægter( Delta s.90), hvorudfra den enkelte elev selv kan konstruere begreber, færdigheder og mening. Begreber, færdigheder og meninger, der gerne skulle gå i retning af de ” antager fælles forståelser”, der generelt hører matematikfaget til.

Antaget fællesforståelser:

Antaget fællesforståelser synes at beskrive det forhold, at der ikke findes nogen endegyldig sandhed. Fordi læring/viden og færdigheder betragtes som strengt personlige (individuelle) – forstået på den måde, at vi som mennesker ikke kan forstå 100% hvad et andet menneske forstår. Vi kan tro, at vi forstår hinanden og ved, hvad den anden forstår/mener – men vi kan aldrig være 100% sikre. Derfor opereres med begrebet, ”antaget fællesforståelser” – som er et udtryk for det man menes at have en fælles forståelse for!

Arbejdskortbog B2 Børn udvikler metoder – Multiplikation og division

Arbejdskortbog B2

Børn udvikler metoder – Multiplikation og division

Refleksionsspørgsmål både for multiplikation og division

 1. Hvilken rolle spiller det at kunne ”gange på papiret” i dag

Ved at få børnene til at øve multiplikation og division på papir tvinger man dem til at prøve at forstå tankerne bag disse begreber. Det er eksempelvis en god øvelse at give dem 100% frihed til at benytte den metode, de nu finder rigtig i forhold til at løse ”multiplikation eller divisionsgåden”. Her er det vigtig, at vi lader den enkelte elev tænke så kreativt som muligt indtil de finder den metode som de er fortrolige med.

2. Hvilke mål kan man som lærer have for den enkelte elevs kompetence 

Med udgangspunkt i den af eleven valgte regnemetode kan man få eleven til at tænke i andre alternative metoder ( eksempelvis de metoder andre i klassen benytter ). Herved vil deres forståelse af multiplikation og division alt andet lige blive udvidet. Derefter kan man som lærer introducerer de ”simple” og kendte multiplikations- og divisionsalgoritmer og derved give dem redskaber, hvor de måske kommer hurtigere (lettere) til resultatet.

3. Er det muligt at forbinde børns arbejde med talforståelse med ønsket om færdigheder i multiplikations

Ja, talforståelsen kan sagtens forbindes med multiplikation og division. Det at børn eksempelvis ved at der er tale om 1'ere, 10'ere og 100'ere mv. giver dem en grundlæggende og hurtig metode til at kunne forstå de forskellige regneregler. Det er endvidere også her man kan begynde at lede dem hen i forståelsen af, at eksempelvis division er det modsatte af multiplikation.

4. Den ”lille tabels” betydning

Den lille tabel skal benyttes som et grundlæggende redskab i forståelse af multiplikation og division. Det giver børnene og læreren en fælles referenceramme uanset hvilken regne metode den enkelte elev anvender i problemstillinger hvori multiplikation og division indgår. Den lille tabel og anvendelsen af denne giver eleverne et minimum af sikkerhed i forhold til forståelsen af de forskellige regnearter.

5. Lommeregneres funktion

Lommeregneren skal kun benyttes når eleverne er fortrolige med forståelsen af hvad multiplikation og division er for størrelse. Derudover skal lommeregneren benyttes som kontrol og hvor sværhedsgraden af problemstillingen kræver brug af hjælpemidler. Vigtigt er det dog, at forståelsen altid er på plads før lommeregneren benyttes.

Personlig kommentar:

Jeg er ikke helt enig med Jan i sidste punkt, hvor han skriver noget i retningen af, at alle elever skal regne uden lommeregner (implicit: for at blive sikker i den lille tabel). Som udgangspunkt - så ja det er godt, at de kan regne med den lille tabel i hovedet, men ren udenadslære gør ikke eleven i stand til at bruge den viden i kontekst.

Jeg har elever i 7., der ikke forstår eller kan hele den lille tabel - Ja jeg "leger" tabellege nogen gange (sjældent) med dem, men i det daglige, vil jeg nok lægge fokus på, om de gennem dokumenterede mellemregninger kan komme frem til en fornuftig løsning på opgaven med alle hjælpemidler, lommeregner, google, you tube - altså selve tabelkunnen bliver sekundært.

Jeg laver prøver via fx matematikfessor at lave differentierede opgaver, samt jeg prøver at øve eleverne i at arbejde aktivt med deres skuldermakker - således at de hjælper hinanden med forståelsen.

Mulige problematikker her: der er ingen der gider den meget dårlige elev - Det har jeg primært oplevet, hvis der bliver for stor faglig forskel mellem skuldermakkere. 

Eleverne har ofte ikke den forståelse, at de rent faktisk bliver dygtigere også kommunikativt, når de hjælper hinanden. De har meget mere fokus på at nå opgaverne igennem. Hvordan arbejde med det?

Ofte "skjuler" den elever der ikke forstår opgavetypen sig ved at kigge efter - i stedet for at spørge ind til opgaven. Hvordan arbejde med det?