Tal, Algebra og Funktioner - Grundbogen kap.2 Multiplikation og division. Videnspakke,

Tal, Algebra og Funktioner

Kap.2

Jeg skal i løbet af kapitlet;

• ·         kende til en typisk udvikling i børns indledende arbejde med multiplikation og division af flercifrede tal
• ·         kende måder at arbejde på, så elevens arbejde med regnefærdigheder kan bygge på og videre udvikle dennes forståelse af 10-talssytemets opbygning.
• ·         forstå traditionelle færdigheder
• ·         anse videnspakker og forumteater som didaktiske hjælpemidler

Der er løbende blevet mere og mere fokus på elevens mulighed for at udvikle egne metoder til udregninger. Som matematiklærer skal jeg altså ikke forevise den rigtige måde at udregne. Eleven er selv medskaber, tænker selv og forsøger at finde måder at klare opgaverne på. Eleven skal ikke trænes i at blive en levende regnemaskine for de har i dag en lommeregner.

Indledende multiplikation og division

Overvej/diskuter1(s.31)

Hvordan har eleven tænkt? Hvad har læreren forsøgt?

Eleven har tænkte i mønstre/billeder. Mens læreren har forsøgt at oversætte dette til et mere abstrakt 10-talssystem i et forsøg på at få eleven til at lære at lave en kobling mellem billeder og 10-talssystemet.

Multiplikative situationer

Opg. 3.kl skal finde svaret på 6x37

37 kaldes multiplikanden og 6 kaldes for multiplikatoren(den der viser hvor mange gange det skal gøres?)

Ifølge Verschaffel & de Corte(1996) findes fire typer af multiplikative situationer:

·         Pga. tallenes forskellige roller i eksemplet, men med lige store mængder kaldes det asymmetrisk multiplikations- situation. Almindeligvis i DK skriver vi multiplikatoren først i den korte notation.

·         Asymmetrisk multiplikative sammenligninger fx A har 3 stk. og B har 4 gange så mange.

·         Symmetrisk rektangulære mønstre fx når arealet af 6 x 4 skal findes

·         Mængde produkt fx valgmuligheder mellem 4 længder og 6 bredder

Multiplikative situationer - division

I en multiplikativ situation med lige store mængder er der to former for division, ligedelings- og måledivision.

1)      Ligedelingsdivision. Bruges når man vi kender produktet(21) og multiplikatoren(3) Fx hvis 3 elever deler 21 objekter ligeligt.

2)      Måledivision. Bruges når størrelsen af de lige store grupper, multiplikanden er kendt mens antallet af grupper, multiplikatoren ikke er. Fx 21 objekter skal deles i fx poser med 3 i hver.

3)      Ligedeling ved sammenligning. Fx a har 12 obj. Det er 4 gange så mange som b har. Her kan man finde frem til resultatet ved at dele 12 op i 4 lige store dele. Svare findes ved ligedeling.

4)      Måling ved sammenligning. Hvis a har 12obj og b har 3. Vi kan finde, hvor mange gange a har det samme antal obj som b ved at tælle obj. op i 3 -  dvs. måle a´obj med b´antal som måleenhed.

Det der er forskelligt ved ligedelings- og måledivisioner er, om det er multiplikanden eller multiplikatoren, du vil finde. Symmetriske situationer giver derfor kun én divisionstype, da der ikke er forskel på de to faktorer.

Overvej/diskuter2

Der gættes i svaret!

Hvor mange poser med fire boller i hver, når 25 børn skal have hver en bolle.(s.35)

Laura - 7x4=28 -3=25… dvs. 7 poser muligvis (se oven over) asymmetrisk multiplikations- situation

Se. S36, figur3 Mads - mulighed 2 og Sarah mulighed 4

Hvis Mads og Sarah skulle fremlægge deres besvarelse, tror jeg at de ville tegne poserne/visualisere for på denne måde at se det rummeligt i forhold til ren abstrakt tænkning.

På Realistisk Matematikundervisning(RME) arbejdes med vægt på måledivision. Fordi der kan arbejdes uformelt med målesituationerne og derfor udvikle gode beregningsmetoder på den baggrund og fordi ligedeling ofte kan tolkes som måling.

Elever har ofte selv på højere klassetrin svært ved at skelne om der skal ganges eller divideres. Derfor er det en god ide at introducere eleverne for mere intuitive metoder(måledivision) som siden videreudvikles.

Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer

Kan deles i to dele; mundtlig multiplikation af encifrede tal og division og skriftlig multiplikation og division af flercifrede tal.

Overvej/diskuter3

Ud fra figur4 ser det ud til at eleven dels har angivet ligedeling ved sammenligning 6:2 = 3 på opgaven. Men at eleven også har tegnet nogle løver for at prøve at lave en måledivision. Det ser i midlertidigt ud, som der er tegnet 6 løver, men at de ikke er blevet grupperet. Talangivelsen er skrevet øverst på siden, derfor vurderes det, at de 6:2 = 3 er skrevet på ved gennemgang, og ikke fordi eleven selv har kunne gennemskue opgaven.

Multiplikation med encifrede tal

Ved indlæring af den lille tabel er det en god ide at lære eleverne at genkende et mønster;

• ·         0 gange ethvert tal giver 0
• ·         1 gange ethvert tal giver tallet selv
• ·         7 gange 10 er 7 tiere og tilsvarende for alle andre mulitpla af 10. God mening at arbejde             med konkret materialer fx stænger, kuber.
• ·         Fordobling giver mening for eleverne fx 2-tabellen.
• ·         5-tabellen har et pænt mønster - derfor nem at lære
• ·         Brug rektangulære modeller til at kommunikere fx 7x10 = 10x7
• ·         Kvadrattallene er nemmere at huske end mange andre.

 
 Det vigtigst er at fokusere på meningen og ikke at lære resultatet udenad.

Overvej/diskuter5

s.32 + 36
Mikkel benytter sig af at tælle op og indramme når han er nået til en 10´er for på denne måde at visualisere.

Freja og Sarah brugte at skiptælle med subtraktion eller addition

Mads brugte addition.

Overvej/diskuter6

Tabel-bowling(s.41)

I spillet er det forholdsvis nemt at tilgodese elever differentieret. De elever der ikke kan multiplicere har mulighed for at tegne x antal streger på papir og så addere. Det kommer mest an på hvordan læreren har lavet mulighed for at tælle. Altså er der mulighed på papiret at skrive andet end efter hovedregning at skrive resultat eller er der plads til udregninger?

Tabeltræning:

Der ligger mange gratis apps til mobiltelefoner, hvor eleven kan træne.

http://www.binggeli-winter.dk/tabel/index.php

http://www.mulleweb.dk/DIVERSE/TABEL/TABELSANGE.html

http://youtu.be/I7kf_9Tnefk

http://youtu.be/0SZw8jpfAk0

Overvej/diskuter7

Udsagn: nogle elever kan godt udfordres med udenadslære, altså lære den lille tabel udenad, mens andre der har svært ved at lære udenad kan støtte sig til hjælpemidler fx lommeregner.

Det lyder fornuftigt. Hvorfor? Fordi eleven der ikke har problemer med at lære matematikken, kan udfordres med hjernegymnastik. Desuden er det bevist, at des mere du får passende udfordringer til hjernen des mere udvikler neuronerne sig, og des bedre bliver du til nye mere komplekse problemstillinger.

For elever der har svært ved matematikken - vel at mærke som den traditionelt læres i skolen. De har brug for at få en anden tilgang til den matematiske verden med støtte til at tænke i andre baner. Dvs. de skal udfordres i at der er metodefrihed og ikke udenadslære. 

Øvelse1

Med obs på divisionsresten

1)      81:6 = 13 rest 3 dvs. at der er nød til at være et bord mere 14 borde

2)      81 personer fordeles mellem 6 borde = dvs. ved 3 af bordene sidder der 13 og ved 3 af bordene sidder der 14

3)      Deling af 81m i dele af 6m, hvor mange stykker= 81:6 = 13 stykker a 6 m (med rest på 3 m, der ikke kan bruges)

4)      Del 81m i 6 dele = 81:6 = 13,5

5)      Deling af 81 stk. kager mellem 6 børn = 13stk. til hver (med 3 i rest)

6)      81 kager fordelt i 6 poser giver = 13 poser (med 3 kager i overskud)

7)      Hvor lang kan siden være når rektangel 6m x ?m er 81 fliser = 13,5m

Fordi tallene er sat i en meningsfyldt kontekst, giver det mening at forholde sig til resten i hver enkelt situation. Ved at sætte opgaverne i undervisningen i en meningsfyldt kontekst, må det kunne støtte eleven i at se betydningen af resten.

Multiplikation med flercifrede tal

I skolen er der traditionelt fokus på multiplikations algoritmer og ikke meningsfuldhed eller gennemskuelighed.

Overvej/diskuter8

Regn opgaven 68x46. I gruppen brugte vi forskellige metoder til at finde frem til et resultat. Nogle af os trak fra ved at låne i ti´eren, andre lagde til i nederste tal.

Rektangler kan støtte elevers læring af regnearter. Kilpatrick(National Re3search Council, 2001) foreslår at elever benytter arealmodeller som udgangspunkt som i figur 8.

Undersøgelse1

http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html

Som der flere gange beskrives i kap.2 har undersøgelser vist at multiplikative situationer kan opdeles i både symmetriske og asymmetriske situationer, der er forholdsvis vanskelig og ikke mindst ofte abstrakte for eleven. I den danske skole læres traditionelt tabeller som udenadslære og ikke med fokus på en meningsfyldt kontekst. Derved vil elever ikke sjældent opleve tvivl, om hvorvidt der i en given situation skal ganges eller divideres - hvad skal der reelt foretages i opgaven?

En måde at støtte eleven kan være som Kilpatrick foreslår, nemlig at benytte arealmodellen(rektangel) som udgangspunkt for at arbejde sig frem mod mere ren skriftlige former. I linket herover arbejdes netop med en visualisering af matematikken. Her kan den enkelte elev udfordres på dennes niveau og få en klar ide om, hvordan tallene forholder sig til hinanden i en arealmodel.

Undersøgelse2

Generelt står lærebogssystemerne med det problem, at de ikke er tilpasset de FFM. Det betyder, at systemerne er opbygget ud fra en anden målsætning, end den vi skal arbejde med i dagligdagen.

Vi har valgt at kigge på 3 forskellige systemer, to i bogform og et net baseret.

Systemerne er godt nok til lidt større elever men mest relevant for os i udskolingen;

Matematik-tak7, alina:

Plus: Matematik-tak arbejder meget tematisk i opbygningen, hvor temaerne problematiseres og knyttes til samfundet omkring eleven. Dette bidrager med at gøre matematikken relevant og sætte den i en kontekst, som eleven kan forholde sig til. Derfor vil tilegnelsen af fx tabeller mere opleves som et redskab for at kunne finde ud af de essentielle fx ens økonomi, miljø, ferie eller fritid.

Minus: I materialet ligger der dog ikke mange differentierings muligheder, hvilket gør at dygtige elever ikke umiddelbart får udfordring nok, og mindre stærke elever kan ikke overskue opgaverne.  Billederne i bøgerne bliver hurtigt for ”gammeldags”. Dette gør, at eleverne ikke føler, det har relevans for dem. De synes mere, at det er morsomt at se på fotos af mærkelige briller og tøj.

Sigma7, Alina:

Plus: Gode muligheder for elevdifferentiering, da efter fælles intro til hvert kompetenceområde arbejdes i grøn eller blå opgaver af forskellig sværhedsgrad. Der arbejdes med temaer mellem de overordnede kompetencer områder, men….

Minus: Temaerne har ikke en rød tråd til de tidligere matematikstykker fx efter Geometriopgaver kommer et temaområde, der hedder spil, hvor der arbejdes med sandsynligheder. Det betyder, at modsat Matematik-tak, så har regnestykkerne ofte ikke umiddelbart nogen meningsfyldt relevans. Der regnes, fordi der skal regnes. Tilgangen til multiplikation og division bliver her ofte, at i de mere problemorienterede opgaver, der forstår eleven ikke, hvad og hvorfor stykkerne skal regnes, som de skal.

Matematikfessor.dk fra Clionline

Plus: Matematikfessor har den største fordel i at den aflaster læreren og læreren kan hurtigt dokumentere elevens arbejde. Opgaverne kan differentieres, hvilket også kommer eleven til gode. Fordelen er også at mange elever nyder at kunne klikke sig frem i stedet for at skulle skrive opgaver op i et kladdehæfte.

Minus: Mange af opgaverne er traditionelle terpeopgaver uden, at de sættes i en meningsfyldt kontekst. Eleverne kan godt være hurtige til at gætte, da det bare er et klik - så mellemregninger hvor eleven kan følge sin tankegang udvikles ikke.

Samlet kan ingen af systemerne stå alene, hvis eleven skal lære at blive dygtigere til tabellerne. Ofte bruges lommeregneren i 7.kl, for ikke at fokus skal være på, om eleven kan tabellen, men mere om eleven kan løse problemet.

Efter FFM er bevægelse kommet ind. Derfor kan man sagtens terpe tabeller ved fx at stå i grupper a 4-5 stykker med bold og så spille bom med tabeller forfra og bagfra. Eller fx rundt om bordtennis- nettet med tabeller.

Inde på bla. Youtube ligger mange inspirationsvideoer til, hvordan eleven kan lære at multiplicere og dividere på mere utraditionelle måder. Disse kan virke som inspiration og øjenåbner for, at eleven kan tilegne sig tabellerne uden traditionel udenadslære. Det kan også åbne op for troen på at være mere udforskende og afprøvende. Også som app´ligger der mange gratis spil, der arbejder med forskellige former for tabeltræning. Ofte er disse sat ind i motiverende layout. Disse kan downloades på mobilen, og eleven kan lege tabellerne.

Tabellinks:

http://www.binggeli-winter.dk/tabel/index.php

http://www.mulleweb.dk/DIVERSE/TABEL/TABELSANGE.html

http://youtu.be/I7kf_9Tnefk

http://youtu.be/0SZw8jpfAk0

Opsamling på kapital 2

Videnspakke(Delta s311)

(Knowing and Teaching elementary Mathematics, Liping Ma, 1999)

Videnspakken er de dele, som har betydning i forhold til det aktuelle matematiske område. Således viser undersøgelser, at kinesiske lærere forsøger at indfange de enkeltdele, der indgår i et matematisk område, og at samle dem til helheder.

Videnspakken er med til at give læreren overblik over, hvilke forforståelser eleverne skal have før undervisningen rettes mod nye emner, og over de elementer, der indgår i det faglige område. De nye FFM kan godt langt hen ad vejen sammenlignes med videnspakken.

Skitser en videnspakke for division (baseret på figur 4 herover)

Vi har prøvet i modificeret form at forholde opgaven til FFM 7-9 årgang

Fx Division indgår i opgaven - Bluse pris 450kr - udsalg 30% rabat.

Analyse af indhold/færdigheder der arbejdes med:

Indholdet af begrebet: nedslag/rabat/nedgang

Hvordan kan begrebet repræsenteres? Skilte med oprindelig pris og med procentvis nedslag

Hvilke sammenhænge eller problemstillinger kan give mening til begrebet; når udsalgsrabatten skal udregnes.

Mulig anvendelse(modelliering); fx handel med division. Oprindeligt 450kr - nu 30% rabat.

Analyse af læreproces:

-          Eleverne kan have svært ved at skelne mellem hvilke regneart der skal benyttes i de forskellige dele

-          Eleverne kan have svært ved at forstå, hvordan opstillingen på stykket er.

Analyse af undervisningen/Tegn på læringsmål er nået:

-          Færdighedsmål: Eleven kan anvende decimaltal, brøk og procent

-          Vidensmål: Eleven har viden om sammenhængen mellem decimaltal, brøk og procent

Læringsmål ex

-          Eleven kan give eksempler på brugen af procent.

-          Eleven kan forklare sammenhængen mellem decimaler i titalssystemet og brøkdele

Tegn:

-          Eleven kan forklare sammenhænge mellem decimaler i titalssystemet og brøkdele

Udsagn: Division er nemt som deling og besværligt som måling.

Måling er mere visuelt og derfor nemmere for mange. Der er nemme muligheder ofr at opstille fx rektangler der kan give en uddybende forståelse for eleven, derfor er det som Kilpatrick foreslår(s.43) et godt udgangspunkt for senere at arbejde hen mod en skriftlig form.

Udsagn: Måling er centralt i talarbejdet med fx brøker.

Brøker er dele af helheder og giver som overfor nævnt en nemmere tilgang til stoffet ved at få det visualiseret. Det er nemmere at forstå for eleven, når en kammerat skal have halvdelen af en lagkage vist som her

 end 100:2 eller tallet som brøk.

Erfaringspædagogikken, der tager udgangspunkt i at aktivere eleven i forhold til læring (learning by doing, John Dewey) og derved inddrage fx en visualisering med endda henvisninger til en erfaring (lagret i langtidshukommelsen) Kan give eleven mindre pres på sin arbejdshukommelse og dermed bedre mulighed for at reflektere over forholdet i fx brøker. Så en aktivering af forskellige sanser kan give desto bedre lagring i hukommelsen. Og i forhold til Liping Ma´videnspakke er det netop en forudsætning, at eleven tilegner sig en forståelse for, bl.a. hvordan brøker er sammensat og betydningen af en brøk, før eleven kan udvikle en mere kompleks tilgang. Kapitlet har flere steder henvist via eksemplerne at eleven tyer til konkrete målinger, når de udfordres maksimalt og inden multiplikatorerne og divisorerne er automatiserede på et givent niveau.

Forumteater

Augusto Boal har udviklet en form for refleksions teater, hvor studerende tager udgangspunkt i en problematik og hvor resten af klassen kan byde ind/overtager med forslag til en anden reaktion eller løsning. Efterfølgende kan klassen diskuterer forskellige mulige ageren i forhold til situationer.