Tal, Algebra og Funktioner. Grundbogen kap. 3. Tallenes historiske udvikling.

Efter dette kapital har jeg viden om:

• -         Talbegrebets historie frem til ca.1600 og de første regnebøger.
• -         Historisk matematik anvendt i undervisningen
• -         Kendskab til de revolutionære taludvidelser fra de oprindelige naturlige tal.

Tallenes antropologi

Historisk har hånden været udgangspunktet for at tælle fx det persiske ord for hånd, pentcha, og heraf det græske for penta-, som vi kender fra pentagon ”femkant”

Tal:	5	10	100	1000
Navn:	penta	deka	hekto	kilo (chilo)

Regner du tæerne med, har du 20 at tælle med. I danske er alle tierne fra 50 til 90 sprogligt bygget på 20 som grundtal, fx er halvtreds en forkortelse af halvtredsindstyve.

Overvej/diskuter 1

Bør dansk ud fra matematik-pædagogiken arbejde med tal, som de øvrige Skandinaviske sprog? Femti, seksti….

Jeg mener, at det danske talsystems opbygning er en hindring for at børn i at få en nem tilegnelse af talforståelse, mens den logiske opbygning af fx femti vil meget hurtigere kunne læses, dels da det er i læseretningen og ikke mindst forstås som 5 tiere. Selv i 7.kl i Danmark kan elever have svært ved at forstå, hvordan tallene skal stå, når der spørges om opskrivning af fx 4 hundrede, 3 tiere og 3 enere, fordi de nu har lært, at det skal hedde firehundredeogtreogtredive.

Er det muligvis derfor nemmere at opnå grundlæggende talforståelse i andre sprog? 

I og med at eleverne vil opfatte systemet som logisk henholdsvis ulogisk, så må det være klart, at når eleven oplever en dybere forståelse hurtigt af den logiske opbygning af tal, må det skabe det overskud at kunne blive udfordret på nye mere komplekse opgaver. 

Hvorimod at det ulogiske system må medføre længere tid på udenadslære uden nødvendigvis dybere forståelse og dermed også en barriere for tilegnelse af matematiske udfordringer.

Tidlige spor af tal

Tællesystemer opstod i samfund, der begyndte at udvikle sig med handel. Sumererne i Mesopotamien udviklede ca.3000 f.v.t. et tal og skriftsystem samtidigt - kileskriften (figur 2)

Dele af dette system, det "seksagesimale" har grundtal 60. Det overlever stadig i inddelingen af timer i minutter og sekunder.

Udviklingen af kileskrift nåede sit højdepunkt under Hammurapi omkring 1800 f.v.t., hvor nogle af symbolerne nu kunne tolkes som brøkdele. Og dermed kunne ligninger af førstegrad og af anden grad løses.

Figur 3 den typiske kileskrift.

Øvelse1

Jeg vil undervise sumeriske elever ved, at vise ”kilerne” længst mod højre kan tælles op til og med 9 kiler (enernes plads).

Bliver der flere omsættes det til et trin/en kile længere mod venstre (tiernes plads). Denne plads kan rumme op til 5x10. 

Bliver begge pladser fyldt med kiler, omsættes det til et nyt trin/kile nemlig kiler, der svarer til 60´ere. Hvis eleven forstår denne tankegang, er det ikke svært hverken at trække fra eller lægge til.

 Øvelse2

Øvelse3

?

Tal på hieroglyffernes tid

Et par århundrede efter sumererne fandt ægypterne på et titalssystem. Talsystemet er additivt.

Øvelse4

Ægyptisk multiplikationsmetode omsat til vores algorimter også kaldet fordoblings-halveringsmetoden;

16 gange  23

8               46

4               92

2             184

1             368

Hvis der ikke kan halveres præcist sættes en / og rundes ned

/11 gange 14

/5              28

2               56

1              112

Svaret er sidste tal plus tallene ud for /

11 x 14 = 14 + 28 + 112 = 154

Øvelse5

Udregn 8 x 17 og 37 x 51

8  x  17

4      34

2      68

1    136

/37    x     51 18          102 /9           204 4            408 2            816 1          1632

Øvelse6

Ægyptisk regnemetode: 

arealet af et kvadrat har siden 8/9 af cirklens diameter

Find cirkels areal når diameteren er 9 cm =

 9cm x 8/9 =

 72cm/9 = 8cm

Kvadrates areal er l x b =

8cm x 8cm = 64 cm² som svarer til cirklens areal

Kontrol udregning cirklens areal: π x r² = 63,6 cm²

Ægypterne satte værdi for π til 3,16, hvilket i ovenstående udregning vil give resultatet: 63,99

Regnebræt og kugleramme

Romerne brugte i det daglige en form for kugleramme. Den kugleramme med ti kugler på hver tråd fra vores skolesystem stammer dog fra Rusland. Det var en kugleramme Napoleons hære tog med hjem omkring 1812.

Øvelse7

Kuglerammen kan i dag erstattes med pc´programmer, men hvis der ikke er muligheder for at bruge it, så er det en konkret og illustrativ måde at tælle 10´ere. I praksis kan kuglerammen dog erstattes af kastanjer, sten etc.

  

Positionssystemet som grundlag for moderne regning

De gamle systemer havde den ulempe, at der kunne være fortolknings forviklinger. Omkring 250 f.v.t. indføres et tegn for mellemrum - nemlig to kiler på skrå. Dette tegn havde samme funktion som vores tegn for nul, uden dog at det blev brugt aktivt som et nul.
Omkring 600-tallet beskriver en inder ”sunya” dvs. det tomme, der i første omgang noteres som en prik, men med tiden ændreres til en lille cirkel.Araberne tog omkring 800 dette samt de indiske talsymboler fra et til ni med sig. Det var matematikeren al-Khwarizmi (algoritme) der først beskrev det nye positionssystem.Den første kendte forekomst af titalssystemet i Europa er et manuskript ”Codex Vigilanus” fra Spanien år 976.Imidlertid er det takket været Leonardo Pisanos (Fibbonacci) der i 1228 skriver …

”De ni indiske tal er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse ni tal og med tegnet 0….                         kan man skrive ethvert tal, som det skal blive vist senere.”

Værket introducerer arabertallene, som de fejlagtigt kaldes, i Europa.

Øvelse8

?

Grækernes opdagelse af irrationale tal

Grækerne skelnede skarpt mellem tal og størrelser, hvor ifølge Aristoteles (384-322 fvt.) størrelser er ``det, der kan deles i stykker, der igen kan deles uendeligt mange gange'', men tal fremkommer ud fra den udelelige enhed 1, der ikke selv opfattes som et tal. Denne skelnen daterer tilbage til pythagoræerne, der havde doktrinen, at ``alt er tal''.

Pythagoras havde nemlig en ide om at tallene er den skabende kraft bag alting.

”I en retvinklet trekant med de to korte sider a, b og den længste c,                       gælder a² + b² = c² ”

Omkring 430 fvt. stødte de imidlertid på det paradoks, at længden af diagonalen i et enhedskvadrat ikke kan udtrykkes vha. deres tal.(da intet helt tal ganget med sig selv gav 2)

Paradokset fik lov til at spøge i mange år, og der gik lang tid, hvor man ræsonnerede ud fra længder af linjestykker i stedet for egentlige tal.

Grækerne kunne altså godt geometrisk vise alle rationale tal som geometriske størrelser - som linjestykker. 

Fx enheden e har størrelsen ---------- derfor må enheden 3e have 3 størrelser af enheden e. Dette førte til konstruktioner af brøkdele, når dele af enheden e skulle beskrives.

Øvelse9

?

Den langsomme accept af negative tal

Det var kineserne, der først brugte de negative tal i beregninger, men også inderne brugte omkring 2.årh.f.v.t. negative tal.

Araberne, der tog de indiske begreber til sig, ville dog ikke have noget med negative tal at gøre, hvilket gjorde det svært for dem at løse ligninger. 

Fibonacci skrev i 1202 opgaver i sin bog ”Liber Abacci” om negative tal bl.a. til at beskrive gæld. 

Mens munken Luca Pacioli opfandt "dobbelt bogholderi", hvor enhver post skulle indføres to steder med modsat fortegn - de negative tal var her ”trække fra tal”.

Endnu i 1500-tallet kaldes negative tal for ”fiktive tal”(Cardano)

Først omkring år 1700 får den talakse som gærkerne indførte med deres geometriske regning en negativ og positiv halvdel.

Opsamling på kap.3

1)    To episoder fra tallenes historie, som kan bruges til, hvordan jeg tilrettelægger min matematikundervisning - kort beskrevet og hvilken indflydelse den har.

Ud fra FFM skal eleven under tal og algebra/regnestrategier efter 9.kl. kunne udføre sammensatte beregninger med rationale tal og eleven skal have en viden om regningsarternes hierarki.

Her kan underviseren udfordre eleven ved at lade eleven arbejde med fx det ægyptiske hieroglyfsystem og det romerske tællesystem. Systemer der er nogenlunde at gå til men samtidig udfordre nutidig tals opsætning og hierarki - Herved sættes det system, de arbejder med til dagligt i relief, og det giver mulighed for, at få eleverne til at reflektere over vores system med enere, ti´ere og hundrede. 

Det, der gør det sjovt for eleverne, kan også være at de fleste elever kender til pyramiderne - og altså har en ide om, at hieroglyfferne er meget gamle, samt de fleste elever kender til Romerriget via film som Gladiator.

Tal:	1	5	10	50	100	500	1000
Originalt:	I	V	X	L	C	D

Traditionelt:

I

V

X

L

C

D

M

1)    Beskriv forskellige passager fra kapitlet, der er super at fortælle eleverne om.

Der har været mange steder i læsningen, der har været interessant og aha-oplevelser.

Såsom sumerernes system, der måtte udvikles efterhånden, som samfundet blev mere komplekst. En god pædagogisk reference til at eleverne i et komplekst samfund er nød til at kunne arbejde med komplekse problemstillinger. Sumerernes system vil kunne være en slags koder til afkodning for eleverne.

Så er der også den ægyptiske form for multiplikation; fordoblings-halveringsmetoden, der er god at vise eleverne. Igen fordi eleven må eksperimentere med tallene og her kan de efterfølgende nemt tjekke resultatet på traditionelvis. En udmærket øvelse for eleverne at konstruere udfordringsopgaver til hinanden.

Det er selvfølgelig også interessant med vores sprog og koblingen til, hvordan vi har bygget vores danske tal op. 

Vi har spor af et tolvtalssystem, fordi der kommer et brud efter 12, hvor de følgende navne rummer spor af ti. Mens tal mellem 50 og til 99 halvtreds = halvtredsindstyve = 2¹/₂∙20 henfører til grundtallet 20. Dette er også kendt fra fransk fx hedder 87 quatre-vingt sept - 4 x 20 + 7

2)    Overvej hvilken ide der kan være med at nogle matematikbøger præsenterer tidligere talsystemer.

Når matematik i vore dage inddrager ældre tiders algoritmer kan det fra et pædagogisk synspunkt være et mål, at få eleven til at realisere at regnemetoder er kulturbestemt, og dermed kan det også være med til at opmuntre eleven til selv at gå på opdagelse i at finde på andre end de konventionelle regnemetoder - altså at tillægge sig en mere eksperimenterende tankegang.

Tankegange som netop FFM har fokus på fx efter 9.kl kompetencemål: eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik. 

Og under matematiske kompetencer/ræsonnement og tankegange efter 6.kl. - eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde.